Exercício 1. Esboce as curvas paramétricas no intervalo indicado.
x(t)=sen t, y(t)=cosec t, 0<t<pi / 2;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva paramétrica
x(t)=sin t, y(t)=csc t, 0<t<pi2
O conteúdo envolvido é o estudo de curvas paramétricas e a eliminação do parâmetro para reconhecer a forma do lugar geométrico. Vamos eliminar t e estudar domínio e comportamentos nos extremos de t.

Passo 2

Como sin t=x(t), temos \r
sin t = x \r
Logo \r
csc t = 1sin t = 1x \r
Portanto a relação entre x e y é \r
boxedy = 1x

Passo 3

O intervalo 0<t<pi2 implica \r
sin tin(0,1)Longrightarrow xin(0,1) \r
Como y=1/x, segue que y>1. Assim o ponto (x,y) percorre a parte da hipérbole y=1/x para xin(0,1).

Passo 4

Analisando os extremos de t:\r
  • Quando tto0^+, sin tapprox tto0^+, logo xto0^+ e \r y=csc t=1sin tto+infty\r
  • Quando ttopi2^-, sin tto1^-, logo xto1^- e \r y=1xto1^+

Passo 5

Concluímos que a curva é o ramo da hipérbole \r
y=1x
no primeiro quadrante, limitado por \r
xin(0,1), yin(1,infty),
com assíntota vertical em x=0 e aproximando-se do ponto (1,1) sem alcançá-lo.

Resposta

A curva é a parte da hipérbole y=1x para 0<x<1; começa “lá em cima” quando xto0^+ (i.e.\ yto+infty) e desce até aproximar-se de (1,1) sem alcançá-lo.

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