*Questão 1: Encontre a solução do problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que você enviou. O enunciado pede para encontrar a solução da equação
com a condição inicial
. Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem, usando o método do fator integrante para resolver. Precisamos entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
No seu caso, a equação é
. Para ajustar à forma padrão, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por
, é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: