*Questão 1: Encontre a solução do problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo:
y^prime-7 y=e^t, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que você enviou. O enunciado pede para encontrar a solução da equação y' - 7y = e^t com a condição inicial y(0) = 1 . Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem, usando o método do fator integrante para resolver. Precisamos entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y' + P(t)y = Q(t)
No seu caso, a equação é y' - 7y = e^t . Para ajustar à forma padrão, identificamos P(t) = -7 e Q(t) = e^t .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por mu(t) , é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = -7 :
mu(t) = e^integral -7 , dt = e^-7t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) :
e^-7t y' - 7e^-7t y = e^-7t e^t
A equação à esquerda agora é a derivada do produto mu(t) y :
ddt ( e^-7t y ) = e^-7t e^t
Simplificando o lado direito:
ddt ( e^-7t y ) = e^t - 7t = e^-6t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( e^-7t y ) dt = integral e^-6t dt
Isso nos dá:
e^-7t y = -16 e^-6t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para y :
y = e^7t ( -16 e^-6t + C ) = -16 e^t + C e^7t

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar C :
1 = -16 e^0 + C e^0 Rightarrow 1 = -16 + C Rightarrow C = 1 + 16 = 76

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = -16 e^t + 76 e^7t

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