Supondo k>16, esboce o vetor posição r=x imath+y jmath=r(t) em função (trajetória) de t in[0,2 pi] onde x=x(t)=raizk cos t e y=y(t)=raizk-16 sen t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para desenhar o vetor posição r em função do tempo t, onde t varia de 0 a 2pi. As equações que definem as componentes x e y são:
x(t) = raizk cos t
y(t) = raizk - 16 sin t
Aqui, k é um número maior que 16. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e análise de vetores para entender como r(t) se comporta no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações de x(t) e y(t). Ambas são funções trigonométricas ( cos e sin) multiplicadas por constantes. Isso sugere que r(t) descreve uma trajetória periódica, provavelmente uma circunferência ou uma elipse.

Passo 3

Vamos tentar relacionar x(t) e y(t) eliminando o parâmetro t. Sabemos que:
cos^2 t + sin^2 t = 1
Dividindo cada componente pelas constantes ao quadrado:
(xraizk)^2 + (yraizk - 16)^2 = cos^2 t + sin^2 t = 1
Isso simplifica para:
x^2k + y^2k - 16 = 1

Passo 4

Essa última equação é a forma padrão da equação de uma elipse centrada na origem, onde:
  • raizk é o comprimento do semi-eixo maior (a),
  • raizk - 16 é o comprimento do semi-eixo menor (b).
Como k > 16, k - 16 é positivo, garantindo que os comprimentos dos eixos sejam reais e positivos.

Passo 5

Portanto, a trajetória descrita por r(t) é uma elipse com os eixos alinhados aos eixos coordenados x e y. O vetor posição r(t) percorre essa elipse enquanto t varia de 0 a 2pi, completando uma volta completa.

Resposta

A trajetória do vetor posição r(t) é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento raizk ao longo do eixo x e semi-eixo menor de comprimento raizk - 16 ao longo do eixo y, para k > 16.

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