Determine o ângulo entre os vetores \vec{A}=6 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} e \vec{B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional.
Dados fornecidos:
\vec{A}=6\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} e \vec{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}.
O que devemos encontrar: o ângulo \theta entre \vec{A} e \vec{B}.

Passo 2

Definição e cálculo do produto escalar (dot product).
A definição componente a componente do produto escalar é:
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z,
onde A_x,A_y,A_z são as componentes de \vec{A} e B_x,B_y,B_z são as componentes de \vec{B}. Essa fórmula significa: multiplica-se cada componente correspondente e soma-se os resultados (é uma soma de produtos).
Aplicando aos vetores dados:
\vec{A}\cdot\vec{B}=6\cdot 2+(-2)\cdot 3+3\cdot(-1).
Agora calculamos cada termo:
6\cdot 2=12,\qquad (-2)\cdot 3=-6,\qquad 3\cdot(-1)=-3.
Somando:
\vec{A}\cdot\vec{B}=12-6-3=3.

Passo 3

Cálculo do módulo (norma) de \vec{A}.
A fórmula do módulo de um vetor \vec{V}=(V_x,V_y,V_z) é
|\vec{V}|=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2},
ou seja, soma dos quadrados das componentes e depois a raiz quadrada.
Para \vec{A}=(6,-2,3):
|\vec{A}|=\sqrt{6^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{36+4+9}=\sqrt{49}=7.

Passo 4

Cálculo do módulo de \vec{B}. Aplicando a mesma fórmula para \vec{B}=(2,3,-1):
|\vec{B}|=\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.

Passo 5

Relação entre produto escalar e ângulo.
A relação geométrica importante é:
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores, |\vec{A}| e |\vec{B}| são os módulos já calculados, e \vec{A}\cdot\vec{B} é o produto escalar calculado anteriormente.
Isolando \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}.
Substituindo os valores que encontramos:
\cos\theta=\frac{3}{7\sqrt{14}}.

Passo 6

Cálculo do ângulo \theta.
Para obter \theta usamos a função arco cosseno (inversa do cosseno):
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{7\sqrt{14}}\right).
Podemos dar também o valor aproximado em graus. Primeiro avaliando numericamente \frac{3}{7\sqrt{14}}: \sqrt{14}\approx 3,741657, portanto
\frac{3}{7\sqrt{14}}\approx 0,1145.
Então
\theta\approx\operatorname{arccos}(0,1145)\approx 83,43^\circ.
Observação rápida: como \cos\theta é positivo e pequeno, faz sentido que \theta seja um ângulo agudo próximo de 90^\circ, aqui cerca de 83^\circ.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{7\sqrt{14}}\right)
\theta\approx 83,43^\circ

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