Determine o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional.
Dados fornecidos:
e
.
Dados fornecidos:
O que devemos encontrar: o ângulo
entre
e
.
Passo 2
Definição e cálculo do produto escalar (dot product).
A definição componente a componente do produto escalar é:
A definição componente a componente do produto escalar é:
onde
são as componentes de
e
são as componentes de
. Essa fórmula significa: multiplica-se cada componente correspondente e soma-se os resultados (é uma soma de produtos).
Aplicando aos vetores dados:
Agora calculamos cada termo:
Somando:
Passo 3
Cálculo do módulo (norma) de
.
A fórmula do módulo de um vetor é
A fórmula do módulo de um vetor
ou seja, soma dos quadrados das componentes e depois a raiz quadrada.
Para
:
Passo 4
Cálculo do módulo de
. Aplicando a mesma fórmula para
:
Passo 5
Relação entre produto escalar e ângulo.
A relação geométrica importante é:
A relação geométrica importante é:
onde
é o ângulo entre os vetores,
e
são os módulos já calculados, e
é o produto escalar calculado anteriormente.
Isolando
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Cálculo do ângulo
.
Para obter usamos a função arco cosseno (inversa do cosseno):
Para obter
Podemos dar também o valor aproximado em graus. Primeiro avaliando numericamente
:
, portanto
Então
Observação rápida: como
é positivo e pequeno, faz sentido que
seja um ângulo agudo próximo de
, aqui cerca de
.