Determine uma base do subespaço do
gerado pelos vetores
,
e
. Qual a dimensão desse subespaço?
Passo 1
O enunciado pede uma base do subespaço de
gerado por
ou seja, o span
.
Vamos usar combinações lineares para ver quais vetores são dependentes e extrair um conjunto independente maximal.
Vamos usar combinações lineares para ver quais vetores são dependentes e extrair um conjunto independente maximal.
Passo 2
Verificamos se
depende de
e
. Calculemos
Como este resultado coincide com
, temos
logo
é combinação de
e
.
Passo 3
Verificamos agora
. Observe que
logo
Então
Dessa forma
ou seja,
também é combinação de
e
.
Passo 4
Resta agora verificar que
e
são independentes. Note que não existe escalar
tal que
pois o primeiro e segundo componentes dariam
e
, o que é impossível simultaneamente. Logo
é um conjunto linearmente independente.
Passo 5
Concluímos que qualquer vetor gerado por
está em
e que
são independentes. Assim,
é base do subespaço pedido.
Resposta
Uma base é
e a dimensão desse subespaço é
.