Determine uma base do subespaço do R^4 gerado pelos vetores v1=(1,-1,0,0), v2=(-2,2,2,1), v3=(-1,1,2,1) e v4=(0,0,4,2). Qual a dimensão desse subespaço?

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço de R^4 gerado por
v1=(1,-1,0,0), v2=(-2,2,2,1), v3=(-1,1,2,1), v4=(0,0,4,2),
ou seja, o span v1,v2,v3,v4.
Vamos usar combinações lineares para ver quais vetores são dependentes e extrair um conjunto independente maximal.

Passo 2

Verificamos se v3 depende de v1 e v2. Calculemos
v2 + v1 = (-2,2,2,1) + (1,-1,0,0) = (-1,1,2,1)
Como este resultado coincide com v3, temos
v3 = v2 + v1,
logo v3 é combinação de v1 e v2.

Passo 3

Verificamos agora v4. Observe que
v2 + v1 = (-1,1,2,1),
logo
2,(v2 + v1) = (-2,2,4,2)
Então
v4 - 2,(v2 + v1) = (0,0,4,2) - (-2,2,4,2) = (2,-2,0,0) = 2,(1,-1,0,0) = 2,v1
Dessa forma
v4 = 2,(v2 + v1) + 2,v1 = 2,v2 + 4,v1,
ou seja, v4 também é combinação de v1 e v2.

Passo 4

Resta agora verificar que v1 e v2 são independentes. Note que não existe escalar lambda tal que
lambda,(1,-1,0,0) = (-2,2,2,1),
pois o primeiro e segundo componentes dariam lambda= -2 e lambda=2, o que é impossível simultaneamente. Logo v1,v2 é um conjunto linearmente independente.

Passo 5

Concluímos que qualquer vetor gerado por v1,v2,v3,v4 está em spanv1,v2 e que v1,v2 são independentes. Assim,
v1,v2
é base do subespaço pedido.

Resposta

Uma base é
(1,-1,0,0),;(-2,2,2,1),
e a dimensão desse subespaço é 2.

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