Dado o vetor v=i+3 j, encontre um vetor, em R^2, unitário e ortogonal a v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrar um vetor em R^2 que seja unitário (ou seja, com comprimento igual a 1) e ortogonal ao vetor dado v = i + 3,j. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser ortogonal a outro. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2) e b = (b1, b2) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2
Então, para encontrar um vetor u = (x, y) que seja ortogonal a v = (1, 3), precisamos que:
1 cdot x + 3 cdot y = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação 1x + 3y = 0 para encontrar uma relação entre x e y:
x = -3y
Isso significa que qualquer vetor da forma u = (-3y, y) será ortogonal a v. Podemos escolher um valor para y para simplificar. Vamos escolher y = 1, então temos:
u = (-3, 1)

Passo 4

Agora, precisamos que esse vetor seja unitário, ou seja, que tenha comprimento igual a 1. O comprimento (ou norma) de um vetor u = (x, y) é dado por:
|u| = raizx^2 + y^2
Calculando a norma de u = (-3, 1):
|u| = raiz(-3)^2 + 1^2 = raiz9 + 1 = raiz10
Para transformar u em um vetor unitário, vamos dividir cada componente pela sua norma:
uunitário = ( -3raiz10, 1raiz10 ) á

Resposta

Um vetor unitário e ortogonal a v = i + 3,j é:
u = ( -3raiz10, 1raiz10 )

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