Mostre que a equação dada é a equação de uma esfera, determinando o seu centro e o seu raio:
x^2+y^2+z^2-2 x+2 y-7=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2+y^2+z^2-2x+2y-7=0
e pede para mostrar que ela representa uma esfera, encontrando seu centro e raio. Para isso vamos usar o método de completar quadrados em x e y (o z já está em forma quadrática).

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos em x, em y e isolamos o z^2:
l(x^2-2xr);+;l(y^2+2yr);+;z^2;-;7;=;0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada grupo:
x^2-2x = (x-1)^2-1, y^2+2y = (y+1)^2-1

Passo 4

Substituindo na equação original, obtemos
(x-1)^2-1 ;+;(y+1)^2-1 ;+;z^2;-;7;=;0
ou seja
(x-1)^2+(y+1)^2+z^2 ;-;9;=;0 Longrightarrow (x-1)^2+(y+1)^2+z^2=9

Passo 5

A forma padrão de uma esfera é
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2,
logo o centro é (a,b,c)=(1,,-1,,0) e o raio é R=raiz9=3.

Resposta

Centro: (1,,-1,,0)
Raio: 3

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