Mostre que a equação dada é a equação de uma esfera, determinando o seu centro e o seu raio:
x^2+y^2+z^2=6 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a equação
x^2+y^2+z^2=6x
é a equação de uma esfera, determinando seu centro e raio. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço e vamos usar completamento de quadrado para identificar a forma padrão de uma esfera.

Passo 2

Reescrevendo todos os termos de um lado, ficamos com
x^2-6x+y^2+z^2=0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em x. Note que
x^2-6x = (x-3)^2-9
Substituindo na equação, obtemos
(x-3)^2-9 + y^2+z^2=0
ou seja
(x-3)^2+y^2+z^2=9

Passo 4

A forma geral de uma esfera é
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2,
onde (a,b,c) é o centro e r o raio. Comparando com
(x-3)^2+y^2+z^2=9
vemos que
a=3, b=0, c=0, r^2=9Longrightarrow r=3

Resposta

O centro da esfera é (3,0,0) e o raio é 3.

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