Dado o vetor
, encontre um vetor, em
, unitário:
a) e paralelo a
b) e ortogonal a
c) que faz um ângulo de
com
ou
d) que faz um ângulo de
com
.
a) e paralelo a
b) e ortogonal a
c) que faz um ângulo de
d) que faz um ângulo de
Passo 1
O enunciado pede para, dado o vetor
em
, encontrar vetores unitários: paralelo, ortogonal, com ângulo de
e com ângulo de
. O conteúdo principal é norma de vetor, produto escalar e geometria angular em
. Vamos precisar calcular módulo, normalizar, usar
e resolver sistemas para componentes.
Passo 2
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Passo 3
Para (a), um vetor paralelo a
e de módulo 1 é simplesmente
dividido pela sua norma. Assim:
e, claro, seu oposto
.
Passo 4
Para (b), um vetor ortogonal satisfaz
. Se
, então
. Uma escolha simples é
, e normalizando:
Passo 5
Para (c), usamos e
, temos
Resolvendo, aparecem duas soluções unitárias:
Passo 6
Para (d), queremos
com
. Logo
Uma forma elegante é rotacionar o vetor paralelo normalizado em
. A rotação de
dá por matriz de rotação: