Dado o vetor v=i+3 j, encontre um vetor, em R^2, unitário:
a) e paralelo a v ;( pm 1raiz10, pm 3raiz10)
b) e ortogonal a v ;(-3raiz10, 1raiz10)
c) que faz um ângulo de 45^circ com v ;(2 raiz55, raiz55) ou (-raiz55, 2 raiz55)
d) que faz um ângulo de 120^circ com v.

Passo 1

O enunciado pede para, dado o vetor vec v=i+3j em R^2, encontrar vetores unitários: paralelo, ortogonal, com ângulo de 45^circ e com ângulo de 120^circ. O conteúdo principal é norma de vetor, produto escalar e geometria angular em R^2. Vamos precisar calcular módulo, normalizar, usar ucdot v=|u|,|v|costheta e resolver sistemas para componentes.

Passo 2

Primeiro, calculamos o módulo de vec v:
|vec v|=raiz1^2+3^2=raiz10

Passo 3

Para (a), um vetor paralelo a vec v e de módulo 1 é simplesmente vec v dividido pela sua norma. Assim:
vec v|vec v|=l(1raiz10,3raiz10r)
e, claro, seu oposto l(-1raiz10,-3raiz10r).

Passo 4

Para (b), um vetor ortogonal satisfaz ucdot v=0. Se u=(u1,u2), então u1+3u2=0. Uma escolha simples é (u1,u2)=(-3,1), e normalizando:
1raiz(-3)^2+1^2(-3,1)=l(-tfrac3raiz10,tfrac1raiz10r)

Passo 5

Para (c), usamos e , temos
Resolvendo, aparecem duas soluções unitárias:
)

Passo 6

Para (d), queremos ucdot v=|u|,|v|cos120^circ=raiz10(-tfrac12)=-tfracraiz102 com |u|=1. Logo
u1+3u2=-tfracraiz102, u1^2+u2^2=1
Uma forma elegante é rotacionar o vetor paralelo normalizado em 120^circ. A rotação de l(tfrac1raiz10,tfrac3raiz10r) dá por matriz de rotação:
u=R120^circl(tfrac1raiz10,tfrac3raiz10r) =l(-tfrac1+3raiz32raiz10,;tfracraiz3-32raiz10r)

Resposta

l(-tfrac1+3raiz32raiz10,;tfracraiz3-32raiz10r)

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