Encontre todos os valores de , se houver, com os quais a matriz dada é invertível. .
Passo 1
O enunciado pede os valores de c para os quais a matriz
A = c & 1 & 0 1 & c & 1 0 & 1 & c
é invertível. O conteúdo principal aqui é o critério de invertibilidade via determinante: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vamos, então, calcular det(A).
Passo 2
O critério de invertibilidade diz que
A é invertível Long<=ftrightarrow det(A)neq 0 éí
Portanto nosso objetivo é achar det(A) em função de c e impor det(A)neq0.
Passo 3
Para calcular det(A) vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(A) = c detc & 1 1 & c - 1 det1 & 1 0 & c + 0 cdot (cdots)
Passo 4
Calculando os menores:
detc & 11 & c = ccdot c - 1cdot1 = c^2 - 1,
det1 & 10 & c = 1cdot c - 0cdot1 = c
Substituindo,
det(A) = c,(c^2 - 1) - 1cdot c = c^3 - c - c = c^3 - 2c