Encontre todos os valores de c, se houver, com os quais a matriz dada é invertível.
[lllc & 1 & 0 1 & c & 1 0 & 1 & c].

Passo 1

O enunciado pede os valores de c para os quais a matriz
A = c & 1 & 0 1 & c & 1 0 & 1 & c
é invertível. O conteúdo principal aqui é o critério de invertibilidade via determinante: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vamos, então, calcular det(A).

Passo 2

O critério de invertibilidade diz que
A é invertível Long<=ftrightarrow det(A)neq 0 éí
Portanto nosso objetivo é achar det(A) em função de c e impor det(A)neq0.

Passo 3

Para calcular det(A) vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(A) = c detc & 1 1 & c - 1 det1 & 1 0 & c + 0 cdot (cdots)

Passo 4

Calculando os menores:
detc & 11 & c = ccdot c - 1cdot1 = c^2 - 1,
det1 & 10 & c = 1cdot c - 0cdot1 = c
Substituindo,
det(A) = c,(c^2 - 1) - 1cdot c = c^3 - c - c = c^3 - 2c

Passo 5

Fatorando o polinômio:
det(A) = c^3 - 2c = c,(c^2 - 2) = c,(c - raiz2),(c + raiz2)

Passo 6

Para que A seja invertível precisamos de
det(A)neq 0 Long<=ftrightarrow c,(c - raiz2),(c + raiz2) neq 0
Isso ocorre exatamente quando
c neq 0, c neq raiz2, c neq -raiz2

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores de c tais que
c neq 0, c neq raiz2, c neq -raiz2

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