Dado o vetor
, mostre que
Dê uma prova geométrica e outra puramente algébrica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
.
O conteúdo envolvido é a definição de soma de vetores no sentido geométrico (regra do paralelogramo) e a definição de multiplicação de um vetor por escalar, além da representação de vetores por suas componentes para a prova algébrica.
O conteúdo envolvido é a definição de soma de vetores no sentido geométrico (regra do paralelogramo) e a definição de multiplicação de um vetor por escalar, além da representação de vetores por suas componentes para a prova algébrica.
Passo 2
Prova geométrica:
Considere dois vetores iguais posicionados de modo a formar um paralelogramo cujos dois lados adjacentes são ambos
. Como os lados são congruentes, esse paralelogramo é um losango. A soma
corresponde à diagonal que parte da mesma origem dos dois lados. Em um losango, essa diagonal tem a mesma direção e sentido de cada lado e seu comprimento é o dobro do lado. Logo, geometricamente
Considere dois vetores iguais
é um vetor com a mesma direção e sentido de
e módulo
, ou seja
Passo 3
Prova algébrica:
Escreva
Escreva
Então, pela definição de soma de vetores em coordenadas,
Mas pela definição de multiplicação por escalar,
Comparando as duas expressões, conclui-se que