Dado o vetor u, mostre que
u+u=2 u
Dê uma prova geométrica e outra puramente algébrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
u + u = 2u.
O conteúdo envolvido é a definição de soma de vetores no sentido geométrico (regra do paralelogramo) e a definição de multiplicação de um vetor por escalar, além da representação de vetores por suas componentes para a prova algébrica.

Passo 2

Prova geométrica:
Considere dois vetores iguais u posicionados de modo a formar um paralelogramo cujos dois lados adjacentes são ambos u. Como os lados são congruentes, esse paralelogramo é um losango. A soma u+u corresponde à diagonal que parte da mesma origem dos dois lados. Em um losango, essa diagonal tem a mesma direção e sentido de cada lado e seu comprimento é o dobro do lado. Logo, geometricamente
u+u
é um vetor com a mesma direção e sentido de u e módulo 2|u|, ou seja
u+u = 2u

Passo 3

Prova algébrica:
Escreva
u = (u1, u2, dots, un)
Então, pela definição de soma de vetores em coordenadas,
u + u = (u1 + u1,; u2 + u2,;dots,;un + un) = (2u1,,2u2,,dots,,2un)
Mas pela definição de multiplicação por escalar,
2u = (2u1,,2u2,,dots,,2un)
Comparando as duas expressões, conclui-se que
u + u = 2u

Resposta

u + u = 2u

Exercícios relacionados