No triângulo A B C são dados os pontos D sobre o lado A B e E sobre o lado A C de modo que A D=1, D B=1, A E=4, E C=1. Também é dado o ponto F sobre o lado B C e sabe-se que a reta D, E corta a reta A, F no ponto G de modo que A G=3, G F=2. Calcule o quociente
alpha=D GG E
Sugestão. Este é um exercício difícil. Deve-se escrever relações usando os vetores A B e A C, e daí usar o resultado análogo ao exercício 4 no caso plano, discutido em sala.

Passo 1

O enunciado descreve o triângulo ABC com pontos D em AB e E em AC tais que
AD=1, DB=1, AE=4, EC=1
Também há F em BC e a reta DE intercepta a reta AF em G com
AG=3, GF=2
Pede-se calcular
alpha=DGGE
O método: coordenadas vetoriais no plano usando AB e AC.

Passo 2

Escolhemos A como origem, vec B= b e vec C= c. Então
vec D=vec A+tfrac12(vec B-vec A)=tfrac12, b, vec E=vec A+45(vec C-vec A)=45, c

Passo 3

Como F está em BC, escrevemos
vec F=vec B+s(vec C-vec B)=(1-s), b+s, c
E G divide AF em razão AG:GF=3:2, logo
vec G=vec A+35(vec F-vec A)=35vec F

Passo 4

Também G divide DE em razão DG:GE=alpha. Seja
lambda=alpha1+alpha,
então
vec G=vec D+lambda(vec E-vec D) =(1-lambda),vec D+lambda,vec E =(1-lambda)tfrac12, b+lambda45, c

Passo 5

Igualando a expressão de vec G das duas construções, obtemos coeficientes de b e c:
1-lambda2=3(1-s)5, 4lambda5=3s5

Passo 6

Da segunda equação vem lambda=tfrac3s4. Substituindo na primeira:
1-tfrac3s42=3(1-s)5 ;Longrightarrow; 15l(1-tfrac3s4r)=6(1-s) ;Longrightarrow; 9s=4 ;Longrightarrow; s=49,
logo lambda=tfrac3s4=tfrac13. Como lambda=tfracalpha1+alpha=tfrac13, segue
alpha=12

Resposta

alpha=tfrac12.

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