Dados os pontos
e
, expresse vetorialmente as condições:
(i)
e
são colineares;
(ii)
e
não são colineares.
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede condições vetoriais que caracterizem quando três pontos
estão sobre a mesma reta (colineares) ou não. Em linguagem de vetores isso significa verificar a dependência linear entre os vetores
e
, ou usar o produto vetorial em
.
Passo 2
Para que
sejam colineares basta que um dos vetores seja múltiplo escalar do outro, ou seja, que exista
tal que
Passo 3
Em particular, se estamos em
, uma condição equivalente é
pois o produto vetorial só é nulo quando os dois vetores são colineares.
Passo 4
Para que
não sejam colineares basta negar qualquer uma das expressões acima. Por exemplo, não existe
com
ou, em
,
Resposta
(i)
são colineares se, e somente se,
ou equivalentemente
(ii)
não são colineares se, e somente se,
ou equivalentemente