Dados os pontos P, Q e R, expresse vetorialmente as condições:
(i) P, Q e R são colineares;
(ii) P, Q e R não são colineares.

Passo 1

O enunciado pede condições vetoriais que caracterizem quando três pontos P,Q,R estão sobre a mesma reta (colineares) ou não. Em linguagem de vetores isso significa verificar a dependência linear entre os vetores Q-P e R-P, ou usar o produto vetorial em R^3.

Passo 2

Para que P,Q,R sejam colineares basta que um dos vetores seja múltiplo escalar do outro, ou seja, que exista lambdainR tal que
R-P ;=;lambda,(Q-P)

Passo 3

Em particular, se estamos em R^3, uma condição equivalente é
(Q-P)times(R-P) ;=;0,
pois o produto vetorial só é nulo quando os dois vetores são colineares.

Passo 4

Para que P,Q,R não sejam colineares basta negar qualquer uma das expressões acima. Por exemplo, não existe lambda com
R-P = lambda,(Q-P),
ou, em R^3,
(Q-P)times(R-P) ;neq;0

Resposta

(i) P,Q,R são colineares se, e somente se,
exists,lambdainR:;R-P = lambda,(Q-P),
ou equivalentemente
(Q-P)times(R-P) = 0
(ii) P,Q,R não são colineares se, e somente se,
não existe lambda tal que R-P = lambda,(Q-P), ã
ou equivalentemente
(Q-P)times(R-P) neq 0

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