Dado o vetor v=3 i+4 j-k, pede-se determinar dois vetores a e b, tais que a+b=v, sendo a coplanar com i e j, e b paralelo ao vetor u=-i+3 j-2 k.

Passo 1

O enunciado dá o vetor
vec v = 3vec i + 4vec j - vec k
e pede vetores vec a e vec b tais que
  1. vec a + vec b = vec v,
  2. vec a é coplanar com vec i e vec j (logo sua componente em vec k é zero),
  3. vec b é paralelo a vec u = -vec i + 3vec j -2vec k.
Conteúdo: decomposição de vetor em componente paralela a outro e componente num subespaço dado.

Passo 2

Como vec a não tem componente em vec k, escrevemos
vec a = (a1,a2,0)
Como vec b é paralelo a vec u, existe escalar t tal que
vec b = t,vec u = t,(-1,3,-2) = (-t,;3t,;-2t)

Passo 3

Da condição vec a + vec b = vec v obtemos, compondo em cada eixo,
(a1 - t,;a2 + 3t,;-2t) = (3,,4,,-1)
Assim temos o sistema
a1 - t = 3, a2 + 3t = 4, -2t = -1

Passo 4

Da terceira equação segue
-2t = -1 Longrightarrow t = tfrac12
Substituindo t=tfrac12 nas duas primeiras equações:
a1 - tfrac12 = 3 Longrightarrow a1 = 3 + tfrac12 = tfrac72,
a2 + 3cdot tfrac12 = 4 Longrightarrow a2 = 4 - tfrac32 = tfrac52

Resposta

vec a = tfrac72,vec i + tfrac52,vec j, vec b = -tfrac12,vec i + tfrac32,vec j - vec k

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