Dados os vetores u1=(1,1,0) e u2=(1,1,1), pede-se determinar as coordenadas do vetor v de módulo raiz5, tal que v-u1 perp u1 e v-u2 perp u2.

Passo 1

Resumo do problema: precisamos achar v=(x,y,z) tal que
1. (v-u1)perp u1 com u1=(1,1,0).
2. (v-u2)perp u2 com u2=(1,1,1).
3. |v|=raiz5.
Usaremos produto escalar para obter duas equações lineares em x,y,z e a condição do módulo para fechar o sistema.

Passo 2

Implementando a ortogonalidade com vec u1:
(vec v-vec u1)cdotvec u1=(x-1)cdot1+(y-1)cdot1+(z-0)cdot0= x+y-2=0
Logo,
x+y=2

Passo 3

Implementando a ortogonalidade com vec u2:
(vec v-vec u2)cdotvec u2=(x-1)+(y-1)+(z-1)= x+y+z-3=0
Logo,
x+y+z=3
Dessas duas equações lineares subtraímos x+y=2 de x+y+z=3 e obtemos
z=1
Portanto vec v=(x,y,1) e x+y=2.

Passo 4

Impondo |vec v|^2=5:
x^2+y^2+1^2=5Longrightarrow x^2+y^2=4
Como y=2-x, substituímos:
x^2+(2-x)^2=4Longrightarrow x^2+4-4x+x^2=4 Longrightarrow 2x^2-4x=0 Longrightarrow 2x(x-2)=0
Isso dá x=0 ou x=2. Assim
x=0implies y=2, x=2implies y=0

Resposta

As soluções são
vec v=(0,2,1) ou vec v=(2,0,1),
ambas com |vec v|=raiz5 e satisfazendo as condições de ortogonalidade.

Exercícios relacionados