Sendo
três vetores não nulos se
, mostrar, com um exemplo, que necessariamente não temos
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, dados três vetores não nulos
em
, a igualdade
não implica necessariamente . Vamos usar produto escalar e um contraexemplo explícito em
.
não implica necessariamente
Passo 2
Escolhemos
,
e
.
A ideia é que “pega” só a componente
, de modo que ambas as segundas componentes de
e
fiquem “invisíveis” ao produto escalar com
.
A ideia é que
Passo 3
Calculamos os produtos escalares:
,
.
Logo
Logo
Passo 4
Porém claramente
.
Isso mostra que mesmo com , não podemos concluir
.
Isso mostra que mesmo com
Resposta
Um exemplo em
é
,
e
.
Então
mas .
Então
mas