Sendo u, v, w três vetores não nulos se u cdot imath=u cdot w, mostrar, com um exemplo, que necessariamente não temos v=w.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, dados três vetores não nulos u,v,w em R^n, a igualdade
ucdotv = ucdotw
não implica necessariamente v=w. Vamos usar produto escalar e um contraexemplo explícito em R^2.

Passo 2

Escolhemos
u = (1,0),
v = (1,1) e
w = (1,-1).
A ideia é que u “pega” só a componente x, de modo que ambas as segundas componentes de v e w fiquem “invisíveis” ao produto escalar com u.

Passo 3

Calculamos os produtos escalares:
ucdotv = (1,0)cdot(1,1) = 1cdot1 + 0cdot1 = 1,
ucdotw = (1,0)cdot(1,-1) = 1cdot1 + 0cdot(-1) = 1.
Logo
ucdotv = 1 = ucdotw

Passo 4

Porém claramente
v=(1,1)neq(1,-1)=w.
Isso mostra que mesmo com ucdotv=ucdotw, não podemos concluir v=w.

Resposta

Um exemplo em R^2 é
u=(1,0), v=(1,1) e w=(1,-1).
Então
ucdotv=1=ucdotw
mas vneqw.

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