Dado um vetor u=(x, y, z), ache as projeções deste vetor sobre cada um dos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1). Note que estes vetores também se escrevem tradicionalmente em Física como imath, jmath e k, respectivamente.
Resp: x e1, y e2 e z e3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as projeções de u=(x,y,z) sobre os vetores unitários de base
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1).
O conteúdo aqui é projeção ortogonal de um vetor em outro, usando a fórmula
projv(u) = ucdotvvcdotv,v

Passo 2

Para projetar u em e1, calculamos o produto escalar
ucdote1 = xcdot1 + ycdot0 + zcdot0 = x
e o quadrado da norma de e1 que é
e1cdote1 = 1^2 +0^2+0^2 = 1
Logo,
proje1(u) = x1,e1 = x,e1

Passo 3

Para projetar u em e2, fazemos
ucdote2 = xcdot0 + ycdot1 + zcdot0 = y,
e2cdote2 = 0^2+1^2+0^2 = 1,
portanto
proje2(u) = y1,e2 = y,e2

Passo 4

Para projetar u em e3, seguimos o mesmo procedimento:
ucdote3 = xcdot0 + ycdot0 + zcdot1 = z,
e3cdote3 = 0^2+0^2+1^2 = 1,
logo
proje3(u) = z1,e3 = z,e3

Resposta

x,e1,;y,e2 e z,e3.

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