Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC , sendo A(3,-3,3), B(2,-1,2) e C(1,0,2).
Resp: ang<=(B A C)=arccos 92 raiz21 approx 10,89^circ ; ang<=(A B C)=arccos -raiz32=5 pi6=150^circ ; ang<=(A C B)= arccos 52 raiz7 approx 19,11^circ.

Passo 1

Temos o triângulo ABC com vértices
A(3,-3,3), B(2,-1,2), C(1,0,2)
Para determinar os ângulos internos vamos usar geometria vetorial: se theta é o ângulo entre os vetores u e v, então
costheta = ucdotv|u||v|

Passo 2

Para ang<= BAC definimos
AB = B - A = (-1,2,-1), AC = C - A = (-2,3,-1)
O produto escalar vale
ABcdotAC = (-1)(-2) + 2cdot3 + (-1)(-1) = 9,
as normas são
|AB| = raiz(-1)^2+2^2+(-1)^2 = raiz6, |AC| = raiz(-2)^2+3^2+(-1)^2 = raiz14
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cos(ang<= BAC) = 9raiz6,raiz14 = 92raiz21,
ang<= BAC = arccos92raiz21approx10,89^circ.

Passo 3

Para ang<= ABC definimos
BA = A - B = (1,-2,1), BC = C - B = (-1,1,0)
Calculamos
BAcdotBC = 1cdot(-1)+(-2)cdot1+1cdot0 = -3,
|BA| = raiz1^2+(-2)^2+1^2 = raiz6, |BC| = raiz(-1)^2+1^2+0^2 = raiz2
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cos(ang<= ABC) = -3raiz6,raiz2 = -raiz32,
ang<= ABC = arccosl(-tfracraiz32r) = 150^circ.

Passo 4

Para ang<= ACB definimos
CA = A - C = (2,-3,1), CB = B - C = (1,-1,0)
Temos
CAcdotCB = 2cdot1+(-3)cdot(-1)+1cdot0 = 5,
|CA| = raiz2^2+(-3)^2+1^2 = raiz14, |CB| = raiz1^2+(-1)^2+0^2 = raiz2
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cos(ang<= ACB) = 5raiz14,raiz2 = 52raiz7,
ang<= ACB = arccos52raiz7approx19,11^circ.

Resposta

ang<= BAC = arccos92raiz21approx10,89^circ
ang<= ABC = arccosl(-tfracraiz32r) = 150^circ
ang<= ACB = arccos52raiz7approx19,11^circ

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