Sejam A, B subset U. Definamos:
CU A=x in U: x notin A ; A-B=a in A: a notin B
Prove que:
CU(A cup B)=CU A cap CU B ; CU(A cap B)=CU A cup CU B;

Passo 1

O enunciado trabalha com conjuntos A,Bsubset U e define o complemento relativo
CUA = xin U: xnotin A
e a diferença de conjuntos
A-B = ain A: anotin B
O objetivo é demonstrar as duas leis de De Morgan para complemento em U:
CU(Acup B)=CUAcap CUB e CU(Acap B)=CUAcup CUB

Passo 2

Provar CU(Acup B)subseteq CUAcap CUB. Seja xin CU(Acup B).
Então xin U e xnotin Acup B.
Pelo significado de união, xnotin Acup B equivale a “ xnotin A e xnotin B”.
Logo xin CUA e xin CUB, isto é, xin CUAcap CUB.

Passo 3

Provar CUAcap CUBsubseteq CU(Acup B). Seja xin CUAcap CUB.
Então xin U, xnotin A e xnotin B.
Daí xnotin Acup B, portanto xin CU(Acup B).

Passo 4

Provar CU(Acap B)subseteq CUAcup CUB. Seja xin CU(Acap B).
Então xin U e xnotin Acap B.
Pelo significado de interseção, xnotin Acap B equivale a “ xnotin A ou xnotin B”.
Logo xin CUA ou xin CUB, isto é, xin CUAcup CUB.

Passo 5

Provar CUAcup CUBsubseteq CU(Acap B). Seja xin CUAcup CUB.
Então xin U e ( xnotin A ou xnotin B ).
Mas isso implica que xnotin Acap B, logo xin CU(Acap B).

Resposta

CU(Acup B)=CUAcap CUB, CU(Acap B)=CUAcup CUB

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