Dado um vetor
do plano, seja
o vetor obtido pela rotação de
no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo
. O objetivo desse exercício é encontrar uma fórmula para
com a menor quantidade de cálculos possível.
(i) Se
forma um ângulo
com o eixo horizontal, mostre que
(ii) Verifique que
e conclua daí que
(i) Se
Passo 1
O enunciado fala de um vetor
no plano e da rotação
que gira
em torno da origem no sentido anti-horário por um ângulo
. Para resolver precisamos usar coordenadas polares e as fórmulas de soma de ângulos em trigonometria.
Passo 2
Suponha que o vetor
tenha comprimento
e forme um ângulo
com o eixo
. No triângulo retângulo com hipotenusa
e ângulo em
, o cateto adjacente é
e o oposto é
. Como esses catetos são exatamente as componentes de
, temos
Passo 3
Ao girar
de
para
, ele passa a ter coordenadas polares
. Logo
Passo 4
Basta agora usar as fórmulas de soma de ângulos:
Substituindo
e
em
e multiplicando por
, obtemos