Dado um vetor v=\left(v_{1}, v_{2}\right) do plano, seja R_{\theta}(v) o vetor obtido pela rotação de v no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo \theta. O objetivo desse exercício é encontrar uma fórmula para R_{\theta} com a menor quantidade de cálculos possível.
(i) Se v forma um ângulo \alpha com o eixo horizontal, mostre que
v_{1}=|v| \cos \alpha \quad v_{2}=|v| \operatorname{sen} \alpha
(ii) Verifique que R_{\theta}(v)=(|v| \cos (\alpha+\theta),|v| \operatorname{sen}(\alpha+\theta)) e conclua daí que
R_{\theta}\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(v_{1} \cos \theta-v_{2} \operatorname{sen} \theta, v_{1} \operatorname{sen} \theta+v_{2} \cos \theta\right) .

Passo 1

O enunciado fala de um vetor \,v=(v_{1},v_{2}) no plano e da rotação \,R_{\theta}(v) que gira v em torno da origem no sentido anti-horário por um ângulo \theta. Para resolver precisamos usar coordenadas polares e as fórmulas de soma de ângulos em trigonometria.

Passo 2

Suponha que o vetor v tenha comprimento \lvert v\rvert e forme um ângulo \alpha com o eixo x. No triângulo retângulo com hipotenusa \lvert v\rvert e ângulo em \alpha, o cateto adjacente é \lvert v\rvert\cos\alpha e o oposto é \lvert v\rvert\operatorname{sen}\alpha. Como esses catetos são exatamente as componentes de v, temos
v_{1} = \lvert v\rvert \cos\alpha \quad\text{e}\quad v_{2} = \lvert v\rvert \operatorname{sen}\alpha.

Passo 3

Ao girar v de \alpha para \alpha+\theta, ele passa a ter coordenadas polares \bigl(\lvert v\rvert,\alpha+\theta\bigr). Logo
R_{\theta}(v) = \bigl(\lvert v\rvert\cos(\alpha+\theta),\,\lvert v\rvert\operatorname{sen}(\alpha+\theta)\bigr).

Passo 4

Basta agora usar as fórmulas de soma de ângulos:
\cos(\alpha+\theta)=\cos\alpha\cos\theta-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\theta,
\operatorname{sen}(\alpha+\theta)=\operatorname{sen}\alpha\cos\theta+\cos\alpha\operatorname{sen}\theta.
Substituindo \cos\alpha=v_{1}/\lvert v\rvert e \operatorname{sen}\alpha=v_{2}/\lvert v\rvert em R_{\theta}(v) e multiplicando por \lvert v\rvert, obtemos
R_{\theta}(v) = \bigl(v_{1}\cos\theta - v_{2}\operatorname{sen}\theta,\;v_{1}\operatorname{sen}\theta + v_{2}\cos\theta\bigr).

Resposta

R_{\theta}(v_{1},v_{2}) = \bigl(v_{1}\cos\theta - v_{2}\operatorname{sen}\theta,\;v_{1}\operatorname{sen}\theta + v_{2}\cos\theta\bigr).

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