Determine a equação da reta que passa por (1,0,-3), é ortogonal ao vetor (1,-1,1) e paralelo ao plano 2 x+y-4 z=1. R. r(t)=(1,0,-3)+t(1,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por P=(1,0,-3), é ortogonal ao vetor (1,-1,1) e paralela ao plano de equação 2x+y-4z=1.
Para uma reta em \mathbb{R}^3 com ponto P e vetor direção \mathbf d, as condições são:
  • \mathbf d é ortogonal a (1,-1,1) \Rightarrow \mathbf d\cdot(1,-1,1)=0.
  • \mathbf d é paralelo ao plano 2x+y-4z=1 \Rightarrow \mathbf d é ortogonal ao normal (2,1,-4), ou seja \mathbf d\cdot(2,1,-4)=0.

Passo 2

Seja \mathbf d=(d_1,d_2,d_3). As duas condições viram o sistema
\begin{cases} d_1 - d_2 + d_3 = 0,\\\\ 2d_1 + d_2 - 4d_3 = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem d_2 = d_1 + d_3. Substituindo na segunda:
2d_1 + (d_1 + d_3) - 4d_3 = 0 \;\Longrightarrow\; 3d_1 - 3d_3 = 0 \;\Longrightarrow\; d_1 = d_3.
Logo d_2 = d_1 + d_1 = 2d_1. Podemos escolher d_1=1, obtendo
\mathbf d = (1,2,1).
A equação vetorial da reta é
\mathbf r(t) = (1,0,-3) + t\,(1,2,1).

Resposta

\mathbf r(t) = (1,0,-3) + t\,(1,2,1).

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