Prove as seguintes identidades
(i)
;
(ii)
;
N.B. A identidade acima implica que o produto vetorial não é associativo.
(iii)
;
Dica: Use o item (ii).
(iv)
;
Dica: : Combine os itens (i) e (ii).
(v)
;
Dica: : Use o item (ii).
(i)
(ii)
N.B. A identidade acima implica que o produto vetorial não é associativo.
(iii)
(iv)
(v)
Passo 1
O enunciado pede para provar várias identidades envolvendo produto vetorial e interno em
. O conteúdo principal é a definição do produto vetorial via símbolos de Levi-Civita e do produto escalar usual, além da interpretação do produto vetorial duplo (produto vetorial de produto vetorial) e da “produtovetorial-duplo” de dois vetoriais. Vamos usar
- a propriedade de anti-comutatividade e bilinearidade do produto vetorial,
- a definição dos símbolos de Levi-Civita
e a contração , - a interpretação do produto escalar como
, que é invariante por permutações cíclicas.
Passo 2
Propriedade (i):
é o determinante das colunas
. Sabemos que
. Em notação de produto escalar de vetores, isto significa
Passo 3
Identidade (ii):
.
Usamos a notação por componentes e símbolos de Levi-Civita. Para cada componente :
Usamos a notação por componentes e símbolos de Levi-Civita. Para cada componente
Pela identidade de contração
segue
Em notação vetorial:
Passo 4
Identidade (iii):
.
Começamos aplicando (ii) mas trocando papéis de . Em (ii) tomemos
Começamos aplicando (ii) mas trocando papéis de
Agora, na mesma fórmula, ponhamos
para obter
Usando anti-comutatividade do produto vetorial:
Finalmente aplicamos a parte cíclica de (i) ao produto escalar triplo:
e chegamos à forma desejada.
Passo 5
Identidade (iv):
.
Use (i) para trocar o primeiro produto escalar:
Use (i) para trocar o primeiro produto escalar:
Agora aplique (ii) à expressão
:
Fazendo o escalar com
e usando bilinearidade,
o que é exatamente o enunciado.
Passo 6
Identidade (v):
Em cada termo aplicamos (ii):
-
, -
, -
.
Somando:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Logo a soma é o vetor nulo.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)