Prove as seguintes identidades
(i) \langle v \times w, u\rangle=\langle u \times v, w\rangle=\langle w \times u, v\rangle;
(ii) v \times(w \times u)=\langle v, u\rangle w-\langle v, w\rangle u;
N.B. A identidade acima implica que o produto vetorial não é associativo.
(iii) (v \times w) \times(u \times r)=\langle v, u \times r\rangle w-\langle w, u \times r\rangle v;
Dica: Use o item (ii).
(iv) \langle v \times w, u \times r\rangle=\langle v, u\rangle\langle w, r\rangle-\langle v, r\rangle\langle w, u\rangle;
Dica: : Combine os itens (i) e (ii).
(v) v \times(w \times u)+w \times(u \times v)+u \times(v \times w)=0;
Dica: : Use o item (ii).

Passo 1

O enunciado pede para provar várias identidades envolvendo produto vetorial e interno em \mathbb{R}^3. O conteúdo principal é a definição do produto vetorial via símbolos de Levi-Civita e do produto escalar usual, além da interpretação do produto vetorial duplo (produto vetorial de produto vetorial) e da “produtovetorial-duplo” de dois vetoriais. Vamos usar
  1. a propriedade de anti-comutatividade e bilinearidade do produto vetorial,
  2. a definição dos símbolos de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e a contração \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kpq}=\delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp},
  3. a interpretação do produto escalar como \langle a\times b,c\rangle=\det(a,b,c), que é invariante por permutações cíclicas.

Passo 2

Propriedade (i): \langle v\times w,u\rangle é o determinante das colunas (v,w,u). Sabemos que \det(v,w,u)=\det(u,v,w)=\det(w,u,v). Em notação de produto escalar de vetores, isto significa
\langle v\times w,u\rangle =\langle u\times v,w\rangle =\langle w\times u,v\rangle.

Passo 3

Identidade (ii): v\times(w\times u)=\langle v,u\rangle\,w-\langle v,w\rangle\,u.
Usamos a notação por componentes e símbolos de Levi-Civita. Para cada componente i:
(v\times(w\times u))_i =\varepsilon_{ijk}\,v_j\,(w\times u)_k =\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{kpq}\,v_j\,w_p\,u_q.
Pela identidade de contração
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kpq} =\delta_{ip}\,\delta_{jq}-\delta_{iq}\,\delta_{jp},
segue
(v\times(w\times u))_i =(\delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp})\,v_j\,w_p\,u_q =w_i\,(v_j u_j)-u_i\,(v_j w_j).
Em notação vetorial:
v\times(w\times u) =\langle v,u\rangle\,w-\langle v,w\rangle\,u.

Passo 4

Identidade (iii): (v\times w)\times(u\times r) =\langle v,u\times r\rangle\,w-\langle w,u\times r\rangle\,v.
Começamos aplicando (ii) mas trocando papéis de v,w,u. Em (ii) tomemos
x=v,\quad y=w,\quad z=u \quad\Longrightarrow\quad x\times(y\times z) =\langle x,z\rangle\,y-\langle x,y\rangle\,z.
Agora, na mesma fórmula, ponhamos
x=u\times r,\quad y=v,\quad z=w,
para obter
(u\times r)\times(v\times w) =\langle u\times r,w\rangle\,v -\langle u\times r,v\rangle\,w.
Usando anti-comutatividade do produto vetorial:
(v\times w)\times(u\times r) =-\bigl((u\times r)\times(v\times w)\bigr) =\langle u\times r,v\rangle\,w -\langle u\times r,w\rangle\,v.
Finalmente aplicamos a parte cíclica de (i) ao produto escalar triplo:
\langle u\times r,v\rangle =\langle v,u\times r\rangle, \quad \langle u\times r,w\rangle =\langle w,u\times r\rangle,
e chegamos à forma desejada.

Passo 5

Identidade (iv): \langle v\times w,u\times r\rangle =\langle v,u\rangle\langle w,r\rangle -\langle v,r\rangle\langle w,u\rangle.
Use (i) para trocar o primeiro produto escalar:
\langle v\times w,u\times r\rangle =\langle v,\,w\times(u\times r)\rangle.
Agora aplique (ii) à expressão w\times(u\times r):
w\times(u\times r) =\langle w,r\rangle\,u-\langle w,u\rangle\,r.
Fazendo o escalar com v e usando bilinearidade,
\langle v,\,w\times(u\times r)\rangle =\langle w,r\rangle\,\langle v,u\rangle -\langle w,u\rangle\,\langle v,r\rangle,
o que é exatamente o enunciado.

Passo 6

Identidade (v):
v\times(w\times u) +w\times(u\times v) +u\times(v\times w)=0.
Em cada termo aplicamos (ii):
  1. v\times(w\times u)=\langle v,u\rangle w-\langle v,w\rangle u,
  2. w\times(u\times v)=\langle w,v\rangle u-\langle w,u\rangle v,
  3. u\times(v\times w)=\langle u,w\rangle v-\langle u,v\rangle w.
    Somando:
  • Coeficiente de w: \langle v,u\rangle-\langle u,v\rangle=0.
  • Coeficiente de u: -\langle v,w\rangle+\langle w,v\rangle=0.
  • Coeficiente de v: -\langle w,u\rangle+\langle u,w\rangle=0.
    Logo a soma é o vetor nulo.

Resposta

(i) \langle v\times w,u\rangle=\langle u\times v,w\rangle=\langle w\times u,v\rangle
(ii) v\times(w\times u)=\langle v,u\rangle w-\langle v,w\rangle u
(iii) (v\times w)\times(u\times r) =\langle v,u\times r\rangle w-\langle w,u\times r\rangle v
(iv) \langle v\times w,u\times r\rangle =\langle v,u\rangle\langle w,r\rangle-\langle v,r\rangle\langle w,u\rangle
(v) v\times(w\times u)+w\times(u\times v)+u\times(v\times w)=0

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