Problema 4 Considere três fios finos, longos e paralelos, que cruzam um plano nos vértices de um triângulo equilátero.
a) É possível distribuir as correntes de forma que os três fios se atraiam mutuamente? (Justifique)
b) Existe alguma configuração de corrente que acarrete uma repulsão simultânea entre eles? (Justifique)
a) É possível distribuir as correntes de forma que os três fios se atraiam mutuamente? (Justifique)
b) Existe alguma configuração de corrente que acarrete uma repulsão simultânea entre eles? (Justifique)
Passo 1
O enunciado trata de três fios longos e paralelos passando pelos vértices de um triângulo equilátero. Queremos saber se é possível escolher os sentidos das correntes de modo que cada par de fios se atraia mutuamente (item a) ou se todos os pares se repelam mutuamente (item b). O ponto principal é usar a força por unidade de comprimento entre dois fios paralelos:
onde
é a distância entre os fios, e o sentido da força é atrativo se
e
têm o mesmo sinal (mesmo sentido), e repulsivo se os sinais são opostos.
Passo 2
Para que todos os pares de fios se atraiam, precisamos de
Isso só ocorre se
,
e
forem todas positivas ou todas negativas (isto é, todos os sentidos iguais: todos saindo do plano ou todos entrando). Logo, existe configuração de atração mútua: basta escolher os três correntes no mesmo sentido.
Passo 3
Para que todos os pares de fios se repelam, precisaríamos de
Mas não há como atribuir três números reais que satisfaçam simultaneamente essas três desigualdades: se
e
têm sinais opostos e também
e
são opostos, então
e
acabam tendo o mesmo sinal, o que faz
. Há uma contradição.
Passo 4
Concluímos que não existe configuração de correntes que torne todos os pares de fios mutuamente repulsivos.
Resposta
(a) Sim. Basta colocar as três correntes no mesmo sentido (todas para dentro ou todas para fora do plano), pois aí
para todo par e a força é atrativa.
(b) Não. Não é possível escolher três sinais de corrente de modo que todos os produtos sejam negativos simultaneamente.
(b) Não. Não é possível escolher três sinais de corrente de modo que todos os produtos