(1,0)Dado o vetor \vec{a}=(2,-1,2) e o vetor \vec{b}=(1,2,1), calcule:
(a) A projeção ortogonal de \vec{b} sobre \vec{a}.
(b) O vetor ortogonal a \vec{a} que, somado à projeção de \vec{b} sobre \vec{a}, resulta no vetor \vec{b}.

Passo 1

Temos os vetores \vec{a}=(2,-1,2) e \vec{b}=(1,2,1). O conteúdo aqui é a decomposição de \vec{b} em duas componentes: a projeção de \vec{b} sobre \vec{a} e o componente ortogonal a \vec{a}. Para isso vamos usar a fórmula da projeção ortogonal e, em seguida, obter o vetor ortogonal como diferença entre \vec{b} e sua projeção.

Passo 2

Calculamos os produtos escalares necessários:
\vec{b}\cdot\vec{a} =1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 1\cdot2 =2 - 2 + 2 =2,
\vec{a}\cdot\vec{a} =2^2 + (-1)^2 + 2^2 =4 + 1 + 4 =9.

Passo 3

A projeção de \vec{b} sobre \vec{a} é dada por
\mathrm{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) =\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\;\vec{a} =\frac{2}{9}\,(2,-1,2) =\Bigl(\tfrac{4}{9},-\tfrac{2}{9},\tfrac{4}{9}\Bigr).

Passo 4

O vetor ortogonal a \vec{a} que completa a decomposição satisfaz
\vec{b}_\perp =\vec{b}-\mathrm{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) =(1,2,1)-\Bigl(\tfrac{4}{9},-\tfrac{2}{9},\tfrac{4}{9}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{5}{9},\tfrac{20}{9},\tfrac{5}{9}\Bigr).
Pode-se verificar que \vec{b}_\perp\cdot\vec{a}=0, confirmando a ortogonalidade.

Resposta

(a) \mathrm{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\bigl(\tfrac{4}{9},-\tfrac{2}{9},\tfrac{4}{9}\bigr)
(b) \vec{b}-\mathrm{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\bigl(\tfrac{5}{9},\tfrac{20}{9},\tfrac{5}{9}\bigr)

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