(Questão 02 ) [ 2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) x^{2}+y^{2}+z^{2}=8
( )Elipsóide
b) x^{2}-2 y^{2}+3 z^{2}=-8
( )Hiperbolóide de 2 folhas
c) -x^{2}-y+z^{2}=0
( )Parabolóide Elíptico
d) x-\sqrt{3} y^{2}-8 z^{2}=0
( )Parabolóide Hiperbólico

Passo 1

O enunciado apresenta quatro superfícies quádricas e quatro equações (letras a, b, c e d). Nosso objetivo é associar cada equação ao tipo de quádrica dado (Elipsóide, Hiperbóide de 2 folhas, Parabolóide Elíptico, Parabolóide Hiperbólico). Para isso, vamos usar a forma geral das quádricas, observando se há termo linear e o sinal da forma quadrática.

Passo 2

Analisando a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=8
vemos que é a soma de três quadrados igual a uma constante positiva. Isso descreve uma superfície fechada e convexa (caso especial de esfera), portanto é um Elipsóide. Logo, a) → Elipsóide.

Passo 3

Analisando
x^{2}-2y^{2}+3z^{2}=-8
podemos reescrever como
-x^{2}+2y^{2}-3z^{2}=8.
A forma quadrática tem assinatura (+,-,-) — ou seja, um coeficiente positivo e dois negativos — o que caracteriza um Hiperbóide de duas folhas. Logo, b) → Hiperbóide de 2 folhas.

Passo 4

Analisando
-\,x^{2}-y+z^{2}=0
passamos para
z^{2}-x^{2}=y.
Há um termo linear em y e dois quadrados com sinais opostos, o que define um Parabolóide Hiperbólico (sela). Logo, c) → Parabolóide Hiperbólico.

Passo 5

Analisando
x-\sqrt{3}\,y^{2}-8\,z^{2}=0
ou seja
x=\sqrt{3}\,y^{2}+8\,z^{2},
vemos um termo linear em x igual à soma de quadrados, o que caracteriza um Parabolóide Elíptico. Logo, d) → Parabolóide Elíptico.

Resposta

Elipsóide: a
Hiperbóide de 2 folhas: b
Parabolóide Elíptico: d
Parabolóide Hiperbólico: c

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