Dê exemplos 3 por 3 (que não seja a matriz nula) de
uma matriz antissimétrica: a_{i j}=-a_{j i}, quaisquer que sejam i e j.

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos matrizes de ordem 3\times 3 antissimétricas (ou seja, \,a_{ij}=-a_{ji} para todo i,j) que não sejam a matriz nula. Para resolver, vamos lembrar que em toda matriz antissimétrica os elementos da diagonal principal são zero e cada par de entradas fora da diagonal é formado por números opostos.

Passo 2

Em geral, uma matriz antissimétrica A\in\mathbb{R}^{3\times3} pode ser escrita como
A=\begin{pmatrix} 0 & a & b\\\\ -a & 0 & c\\\\ -b & -c & 0 \end{pmatrix},
onde pelo menos um entre a,b,c é diferente de zero.

Passo 3

Escolhendo (a,b,c)=(1,2,3), obtemos a primeira matriz antissimétrica não nula:
A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ -1 & 0 & 3\\\\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Escolhendo (a,b,c)=(5,-4,7), temos a segunda matriz antissimétrica:
A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & -4\\\\ -5 & 0 & 7\\\\ 4 & -7 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Escolhendo (a,b,c)=(-2,1,-5), construímos a terceira matriz antissimétrica:
A_{3} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1\\\\ 2 & 0 & -5\\\\ -1 & 5 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ -1 & 0 & 3\\\\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix},\quad A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & -4\\\\ -5 & 0 & 7\\\\ 4 & -7 & 0 \end{pmatrix},\quad A_{3} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1\\\\ 2 & 0 & -5\\\\ -1 & 5 & 0 \end{pmatrix}.

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