(1,0) Resolva:
Encontre o valor de m para que os pontos A=(3,1,-1), B=(1,8,1) e C=(-1, m+4,2) sejam colineares.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que os pontos
A=(3,1,-1),\quad B=(1,8,1),\quad C=(-1,m+4,2)
seja colineares em \mathbb{R}^3. O critério de colinearidade é que os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} sejam paralelos (ou linearmente dependentes).

Passo 2

Calculemos
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-3,\;8-1,\;1-(-1)) =(-2,\;7,\;2),
\overrightarrow{AC}=C-A =(-1-3,\;(m+4)-1,\;2-(-1)) =(-4,\;m+3,\;3).
Para que \overrightarrow{AC} seja paralelo a \overrightarrow{AB}, deve existir um escalar t tal que
\overrightarrow{AC}=t\,\overrightarrow{AB}.

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
-4 = t\cdot(-2), \qquad m+3 = t\cdot7, \qquad 3 = t\cdot2.
Da primeira equação vem
t = \frac{-4}{-2} = 2.
Substituindo em m+3 = 7t
m+3 = 7\cdot 2 = 14 \quad\Longrightarrow\quad m = 11.

Passo 4

Porém, ao usar t=2 na terceira equação teríamos
t\cdot2 = 2\cdot2 = 4
que deveria ser igual a 3. Como 3\neq4, não há consistência na componente z. Isso mostra que não existe nenhum escalar t — e, consequentemente, nenhum valor de m — que torne \overrightarrow{AC} paralelo a \overrightarrow{AB}.

Resposta

Não existe valor de m que torne A, B e C colineares.

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