Dado o vetor w=(1,-1), determine u, v que satisfazem:
c u+v=3 w 2 u+3 v=5 w

Passo 1

O enunciado dá o vetor
Estamos diante de um sistema linear em componentes de . Vamos escrever as componentes, montar as equações escalares e resolver passo a passo.

Passo 2

Sejam u=(u1,u2) e v=(v1,v2). Substituindo w=(1,-1) nas equações vetoriais obtemos os dois sistemas independentes em cada componente:
u1 + v1 = 3cdot1 = 3, 2u1 + 3v1 = 5cdot1 = 5, u2 + v2 = 3cdot(-1) = -3, 2u2 + 3v2 = 5cdot(-1) = -5

Passo 3

Resolvendo o sistema das primeiras componentes:
da primeira equação u1 + v1 = 3 temos
u1 = 3 - v1
Substituindo em 2u1 + 3v1 = 5:
2(3 - v1) + 3v1 = 5 ;Longrightarrow;6 -2v1 +3v1 = 5 ;Longrightarrow;v1 = -1
Então
u1 = 3 - (-1) = 4

Passo 4

Agora o sistema das segundas componentes:
da equação u2 + v2 = -3 vem
u2 = -3 - v2
Substituindo em 2u2 + 3v2 = -5:
2(-3 - v2) + 3v2 = -5 ;Longrightarrow;-6 -2v2 +3v2 = -5 ;Longrightarrow;v2 = 1
Logo
u2 = -3 - 1 = -4

Passo 5

Reunindo as componentes achadas:
u = (u1,u2) = (4,-4), v = (v1,v2) = (-1,1)

Resposta

u=(4,-4), v=(-1,1).

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