Sejam u=(1,3,2), v=(2,1,3), w=(3,2,1) . Determine a, b, c in R, tais que: a u+b v+c w=(4,5,6).

Passo 1

A questão pede para achar escalares a, b, c ∈ ℝ tais que a combinação linear a u + b v + c w seja igual a (4,5,6). O conteúdo é sistemas lineares e vamos usar o método de eliminação/substituição para resolver.

Passo 2

Como a igualdade de vetores vale coordenada a coordenada, obtemos o sistema:
a + 2b + 3c = 4
3a + b + 2c = 5
2a + 3b + c = 6

Passo 3

Da primeira equação, isolamos a por substituição:
a = 4 - 2b - 3c
Substituindo essa expressão em 2ª e 3ª equações, reduzimos para um sistema em b e c:
5b + 7c = 7
b + 5c = 2

Passo 4

Resolvendo esse sistema de duas equações: isolando b na segunda, b = 2 − 5c, e substituindo na primeira, obtemos c = 1/6 e então b = 7/6.

Passo 5

Finalmente, voltamos em a = 4 − 2b − 3c para calcular a:
a = 4 - 2cdottfrac76 - 3cdottfrac16 = tfrac76

Resposta

a = 7/6, b = 7/6, c = 1/6

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