Resolva os seguintes sistemas através do escalonamento:
\left\{\begin{aligned} x+4 y+3 z & =1 \\\\ 2 x+5 y+4 z & =4 \\\ x-3 y-2 z & =5\end{aligned}\right..

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x + 4y + 3z = 1,\\\\ 2x + 5y + 4z = 4,\\\ x - 3y - 2z = 5, \end{cases}
e pede para resolver por escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e usar operações elementares para triangularizá-la e então voltar pela substituição.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 &\vline& 1\\\\ 2 & 5 & 4 &\vline& 4\\\\ 1 & -3 & -2 &\vline& 5 \end{pmatrix}.
O primeiro pivô é 1 na posição (1,1). Vamos anular os elementos abaixo dele na coluna,1.

Passo 3

Eliminamos x das equações 2 e 3 usando a linha 1:
R2 \leftarrow R2 -2,R1 e R3 \leftarrow R3 -1,R1. Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 &\vline& 1\\\\ 0 & -3 & -2 &\vline& 2\\\\ 0 & -7 & -5 &\vline& 4 \end{pmatrix}.
Agora temos o sub-sistema
\begin{cases} -3y - 2z = 2,\\\\ -7y - 5z = 4. \end{cases}

Passo 4

Da segunda linha isolamos y em função de z:
-3y - 2z = 2 \quad\Longrightarrow\quad 3y + 2z = -2 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{-2 - 2z}{3}.
Substituímos em -7y - 5z = 4:
-7\Bigl(\frac{-2 - 2z}{3}\Bigr) - 5z = 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{14 + 14z}{3} - 5z = 4 \quad\Longrightarrow\quad 14 + 14z - 15z = 12 \quad\Longrightarrow\quad -z = -2 \quad\Longrightarrow\quad z = 2.
Com z=2,
y = \frac{-2 - 2\cdot 2}{3} = \frac{-2 - 4}{3} = -2.

Passo 5

Finalmente, substituímos y=-2 e z=2 em x + 4y + 3z = 1:
x + 4(-2) + 3(2) = 1 \quad\Longrightarrow\quad x - 8 + 6 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x - 2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.

Resposta

(x,y,z) = (3,-2,2)

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