Dado os vetores
\vec{A}=8 \hat{\boldsymbol{\imath}}+10 \hat{\boldsymbol{\jmath}}, \vec{B}=-4 \hat{\boldsymbol{\imath}}+4 \hat{\boldsymbol{\jmath}}, \vec{C}=10 \hat{\boldsymbol{\imath}}.
o produto misto, \vec{C} \cdot(\vec{A} \times \vec{B})

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{A}=8\,\hat{\imath}+10\,\hat{\jmath}, \quad \vec{B}=-4\,\hat{\imath}+4\,\hat{\jmath}, \quad \vec{C}=10\,\hat{\imath}
e pede o produto misto \vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}). Para resolver usamos componente cartesiana em \mathbb{R}^3, produto vetorial para achar \vec{A}\times\vec{B} e depois produto escalar com \vec{C}.

Passo 2

Como \vec{A} e \vec{B} estão no plano xy, escrevemos todos em \mathbb{R}^3 adicionando a componente z=0:
\vec{A} = (8,\,10,\,0), \quad \vec{B} = (-4,\,4,\,0), \quad \vec{C} = (10,\,0,\,0).

Passo 3

O produto vetorial em coordenadas é
\vec{A}\times\vec{B} = \bigl(A_x,B_y\bigr)\times\bigl(B_x,B_y\bigr) = \bigl(0,\,0,\,A_xB_y - A_yB_x\bigr).
Aqui
A_xB_y - A_yB_x = 8\cdot4 - 10\cdot(-4) = 32 + 40 = 72,
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\vec{A}\times\vec{B} = (0,\,0,\,72) = 72\,\hat{k}.

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de \vec{C}=(10,0,0) com \vec{A}\times\vec{B}=(0,0,72):
\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) = 10\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot72 = 0.

Resposta

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