Dado os vetores
\vec{A}=8 \hat{\boldsymbol{\imath}}+10 \hat{\boldsymbol{\jmath}}, \vec{B}=-4 \hat{\boldsymbol{\imath}}+4 \hat{\boldsymbol{\jmath}}, \vec{C}=10 \hat{\boldsymbol{\imath}}.
Calcule: (b) o produto misto, \vec{C} \cdot(\vec{A} \times \vec{B})

Passo 1

O enunciado pede o produto misto \vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) para os vetores \vec{A}=8\,\hat{\mathbf\imath}+10\,\hat{\mathbf\jmath}, \vec{B}=-4\,\hat{\mathbf\imath}+4\,\hat{\mathbf\jmath} e \vec{C}=10\,\hat{\mathbf\imath}.
O conteúdo aqui é produto vetorial (para obter \vec{A}\times\vec{B}) seguido de produto escalar (para dot com \vec{C}).

Passo 2

Vamos primeiro calcular \vec{A}\times\vec{B}. Para dois vetores em \mathbb{R}^3,
\vec{A}\times\vec{B} =\bigl(A_yB_z - A_zB_y,\;A_zB_x - A_xB_z,\;A_xB_y - A_yB_x\bigr).
Aqui temos A_z=0 e B_z=0, então só sobra a componente k:
\vec{A}\times\vec{B} =(0,\;0,\;A_xB_y - A_yB_x).

Passo 3

Substituindo os valores A_x=8, A_y=10, B_x=-4, B_y=4, temos
A_xB_y - A_yB_x =8\cdot4 - 10\cdot(-4) =32 + 40 =72.
Logo
\vec{A}\times\vec{B} =72\,\hat{\mathbf k}.

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar com \vec{C}=(10,0,0):
\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) =10\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot72 =0.

Resposta

0

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