Dados os elementos
de um espaço vetorial
, mostre que esses são linearmente independentes se, e somente se, é injetiva a seguinte aplicação:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores
de um espaço vetorial
são linearmente independentes exatamente quando a aplicação linear
é injetiva. Vamos usar o conceito de independência linear (combinação linear nula implica coeficientes todos zero) e o fato de que uma aplicação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo é trivial.
Passo 2
Suponha que
sejam linearmente independentes. Para provar que
é injetiva, tomamos
tal que
Isso significa que
Pela independência linear dos
, concluímos que
. Logo o único vetor do núcleo de
é o vetor zero, ou seja,
e isso implica que
é injetiva.
Passo 3
Agora suponha que
seja injetiva. Então temos
. Se houver uma combinação linear
então
. Como o kernel é trivial, isso força
. Portanto não existe combinação não trivial que anule os
, ou seja, eles são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores
são linearmente independentes se, e somente se, a aplicação linear
é injetiva.