Dados os elementos v_{1}, \ldots, v_{r} de um espaço vetorial V, mostre que esses são linearmente independentes se, e somente se, é injetiva a seguinte aplicação:
\begin{gathered} \varphi: \mathbb{R}^{r} \rightarrow V \\\ \varphi\left(a_{1}, \ldots, a_{r}\right)=a_{1} v_{1}+\cdots+a_{r} v_{r} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores v_{1},\dots,v_{r} de um espaço vetorial V são linearmente independentes exatamente quando a aplicação linear
\varphi\colon \mathbb{R}^{r}\to V,\qquad \varphi(a_{1},\dots,a_{r})=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{r}v_{r}
é injetiva. Vamos usar o conceito de independência linear (combinação linear nula implica coeficientes todos zero) e o fato de que uma aplicação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo é trivial.

Passo 2

Suponha que v_{1},\dots,v_{r} sejam linearmente independentes. Para provar que \varphi é injetiva, tomamos (a_{1},\dots,a_{r})\in\mathbb{R}^{r} tal que
\varphi(a_{1},\dots,a_{r})=0.
Isso significa que
a_{1}v_{1}+\cdots+a_{r}v_{r}=0.
Pela independência linear dos v_{i}, concluímos que a_{1}=\cdots=a_{r}=0. Logo o único vetor do núcleo de \varphi é o vetor zero, ou seja,
\ker(\varphi)=\{0\},
e isso implica que \varphi é injetiva.

Passo 3

Agora suponha que \varphi seja injetiva. Então temos \ker(\varphi)=\{0\}. Se houver uma combinação linear
a_{1}v_{1}+\cdots+a_{r}v_{r}=0,
então \varphi(a_{1},\dots,a_{r})=0. Como o kernel é trivial, isso força (a_{1},\dots,a_{r})=(0,\dots,0). Portanto não existe combinação não trivial que anule os v_{i}, ou seja, eles são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores v_{1},\dots,v_{r} são linearmente independentes se, e somente se, a aplicação linear
\varphi\colon \mathbb{R}^{r}\to V,\qquad \varphi(a_{1},\dots,a_{r})=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{r}v_{r}
é injetiva.

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