Três laboratórios (LabX, LabY, LabZ) analisam amostras para uma determinada doença. LabX analisa
das amostras, LabY
e LabZ
. A taxa de resultados falso-positivos é de
para LabX,
para LabY e 3% para LabZ. Uma amostra resultou em um falso-positivo. Qual a probabilidade de ter sido analisada pelo LabZ?
Passo 1
O enunciado dá três laboratórios e pede a probabilidade de que a amostra tenha sido analisada pelo LabZ dado que o resultado foi um falso-positivo. Informações fornecidas:
- Frações das amostras analisadas: LabX
, LabY , LabZ . - Taxas de falso-positivo condicionais:
, , . - Pedido: calcular
, ou seja, a probabilidade de que a amostra tenha vindo do LabZ sabendo que o resultado observado foi um falso-positivo.
Passo 2
Definimos eventos e convertemos porcentagens em probabilidades decimais (usar decimais facilita as contas):
- Seja
o evento “amostra analisada pelo LabX”, por LabY e por LabZ. - Seja
o evento “resultado foi falso-positivo”.
As probabilidades a priori (pegadas do enunciado) são
As probabilidades condicionais são
Passo 3
Vou aplicar o Teorema de Bayes. Antes, uma explicação curta e prática do que é isso:
- Probabilidade condicional:
. Lê-se: probabilidade de dado é a probabilidade dos dois ocorrerem dividida pela probabilidade de . - Teorema de Bayes (no nosso caso com partição por X, Y, Z):
- Lei da probabilidade total para
, porque a amostra veio obrigatoriamente de X, Y ou Z:
Aqui cada termo
representa a contribuição de cada laboratório para a probabilidade total de observar um falso-positivo.
Passo 4
Calculo
somando as contribuições:
Faço cada produto:
Somando:
Passo 5
Agora aplico Bayes para obter
:
Já calculámos
, logo
Dividindo numerador e denominador por
(ou simplificando a fração
) obtemos a forma reduzida
Convertendo para decimal e porcentagem:
Intuição rápida: mesmo que o LabZ só faça
das amostras, sua taxa de falso-positivos é relativamente alta (
), então entre os casos de falso-positivo ele fica com mais da metade.
Passo 6
Resumo final do raciocínio (sem contas novas): usei a lei da probabilidade total para achar a probabilidade de ocorrer um falso-positivo considerando as contribuições dos três laboratórios; em seguida apliquei Bayes para “inverter” a condição e encontrar a probabilidade de que o responsável pelo falso-positivo tenha sido o LabZ. Força aí — essa estrutura (lei total + Bayes) resolve muitos problemas desse tipo.