Três laboratórios (LabX, LabY, LabZ) analisam amostras para uma determinada doença. LabX analisa 25 \% das amostras, LabY 40 \% e LabZ 35 \%. A taxa de resultados falso-positivos é de 2 \% para LabX, 1 \% para LabY e 3% para LabZ. Uma amostra resultou em um falso-positivo. Qual a probabilidade de ter sido analisada pelo LabZ?

Passo 1

O enunciado dá três laboratórios e pede a probabilidade de que a amostra tenha sido analisada pelo LabZ dado que o resultado foi um falso-positivo. Informações fornecidas:
  • Frações das amostras analisadas: LabX =25\%, LabY =40\%, LabZ =35\%.
  • Taxas de falso-positivo condicionais: P(\text{FP}\mid\text{LabX})=2\%, P(\text{FP}\mid\text{LabY})=1\%, P(\text{FP}\mid\text{LabZ})=3\%.
  • Pedido: calcular P(\text{LabZ}\mid\text{FP}), ou seja, a probabilidade de que a amostra tenha vindo do LabZ sabendo que o resultado observado foi um falso-positivo.

Passo 2

Definimos eventos e convertemos porcentagens em probabilidades decimais (usar decimais facilita as contas):
  • Seja \text{X} o evento “amostra analisada pelo LabX”, \text{Y} por LabY e \text{Z} por LabZ.
  • Seja \text{FP} o evento “resultado foi falso-positivo”.
    As probabilidades a priori (pegadas do enunciado) são
P(\text{X})=0,25,\quad P(\text{Y})=0,40,\quad P(\text{Z})=0,35.
As probabilidades condicionais são
P(\text{FP}\mid\text{X})=0,02,\quad P(\text{FP}\mid\text{Y})=0,01,\quad P(\text{FP}\mid\text{Z})=0,03.

Passo 3

Vou aplicar o Teorema de Bayes. Antes, uma explicação curta e prática do que é isso:
  • Probabilidade condicional: \displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. Lê-se: probabilidade de A dado B é a probabilidade dos dois ocorrerem dividida pela probabilidade de B.
  • Teorema de Bayes (no nosso caso com partição por X, Y, Z):
P(\text{Z}\mid\text{FP})=\frac{P(\text{FP}\mid\text{Z})\,P(\text{Z})}{P(\text{FP})}.
  • Lei da probabilidade total para P(\text{FP}), porque a amostra veio obrigatoriamente de X, Y ou Z:
P(\text{FP})=P(\text{FP}\mid\text{X})P(\text{X})+P(\text{FP}\mid\text{Y})P(\text{Y})+P(\text{FP}\mid\text{Z})P(\text{Z}).
Aqui cada termo P(\text{FP}\mid\text{Lab})P(\text{Lab}) representa a contribuição de cada laboratório para a probabilidade total de observar um falso-positivo.

Passo 4

Calculo P(\text{FP}) somando as contribuições:
P(\text{FP})=0,02\cdot 0,25 + 0,01\cdot 0,40 + 0,03\cdot 0,35.
Faço cada produto:
0,02\cdot 0,25 = 0,005,
0,01\cdot 0,40 = 0,004,
0,03\cdot 0,35 = 0,0105.
Somando:
P(\text{FP})=0,005 + 0,004 + 0,0105 = 0,0195.

Passo 5

Agora aplico Bayes para obter P(\text{Z}\mid\text{FP}):
P(\text{Z}\mid\text{FP})=\frac{P(\text{FP}\mid\text{Z})P(\text{Z})}{P(\text{FP})}=\frac{0,03\cdot 0,35}{0,0195}.
Já calculámos 0,03\cdot 0,35=0,0105, logo
P(\text{Z}\mid\text{FP})=\frac{0,0105}{0,0195}.
Dividindo numerador e denominador por 0,0015 (ou simplificando a fração 105/195) obtemos a forma reduzida
P(\text{Z}\mid\text{FP})=\frac{7}{13}.
Convertendo para decimal e porcentagem:
\frac{7}{13}\approx 0,53846\approx 53,846\%.
Intuição rápida: mesmo que o LabZ só faça 35\% das amostras, sua taxa de falso-positivos é relativamente alta ( 3\%), então entre os casos de falso-positivo ele fica com mais da metade.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (sem contas novas): usei a lei da probabilidade total para achar a probabilidade de ocorrer um falso-positivo considerando as contribuições dos três laboratórios; em seguida apliquei Bayes para “inverter” a condição e encontrar a probabilidade de que o responsável pelo falso-positivo tenha sido o LabZ. Força aí — essa estrutura (lei total + Bayes) resolve muitos problemas desse tipo.

Resposta

\dfrac{7}{13}\n \approx 0,53846 \approx 53{,}85\%

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