Dado
e seja
uma base para
prove que existe uma base
para V tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial V, um subespaço W₁⊂V e uma base
de W₁. Queremos mostrar que dá para estender essa base até uma base
de V com
. Para isso vamos usar o Teorema de Zorn (ou o lema de extensão de conjuntos linearmente independentes).
Passo 2
Consideramos a família
de todos os subconjuntos de V que são linearmente independentes e contêm
. Ordenamos
por inclusão. Note que
não é vazia pois
.
Passo 3
Mostramos que toda cadeia (coleção totalmente ordenada)
tem um majorante em
: basta tomar a união
. Essa união contém
e é linearmente independente porque se houvesse uma combinação linear não trivial zero, todos os vetores envolvidos viriam de um mesmo elemento de
, contradizendo a independência desse elemento.
Passo 4
Pelo Teorema de Zorn, existe um conjunto maximal M em
. Por maximalidade, não dá para adicionar nenhum vetor de V\setminus M sem quebrar a independência.
Passo 5
Mostramos que M gera V. Se existisse um vetor v∈V que não estivesse no span(M), então M∪{v} seria independente, pois não há combinação que zere v a partir de M. Mas isso contradiz a maximalidade de M. Logo span(M)=V, e M é uma base de V que contém
.
Resposta
Basta aplicar o Teorema de Zorn à família de todos os conjuntos linearmente independentes de V que contêm
. Pela maximalidade garante-se uma base
de V com
.