Dado W1 subset V e seja B1 uma base para W1 prove que existe uma base B para V tal que B1 subset B.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V, um subespaço W₁⊂V e uma base B₁ de W₁. Queremos mostrar que dá para estender essa base até uma base B de V com B₁subset B. Para isso vamos usar o Teorema de Zorn (ou o lema de extensão de conjuntos linearmente independentes).

Passo 2

Consideramos a família S de todos os subconjuntos de V que são linearmente independentes e contêm B₁. Ordenamos S por inclusão. Note que S não é vazia pois B₁in S.

Passo 3

Mostramos que toda cadeia (coleção totalmente ordenada) Csubset S tem um majorante em S: basta tomar a união S^*=cupSin CS. Essa união contém B₁ e é linearmente independente porque se houvesse uma combinação linear não trivial zero, todos os vetores envolvidos viriam de um mesmo elemento de C, contradizendo a independência desse elemento.

Passo 4

Pelo Teorema de Zorn, existe um conjunto maximal M em S. Por maximalidade, não dá para adicionar nenhum vetor de V\setminus M sem quebrar a independência.

Passo 5

Mostramos que M gera V. Se existisse um vetor v∈V que não estivesse no span(M), então M∪{v} seria independente, pois não há combinação que zere v a partir de M. Mas isso contradiz a maximalidade de M. Logo span(M)=V, e M é uma base de V que contém B₁.

Resposta

Basta aplicar o Teorema de Zorn à família de todos os conjuntos linearmente independentes de V que contêm B₁. Pela maximalidade garante-se uma base B de V com B₁subset B.

Exercícios relacionados