Verificar se o conjunto E=C^0(R) é um subespaço vetorial do espaço vetorial ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F = { f ∈ C⁰(ℝ) | limₓ→+∞ f(x) = 0 } é subespaço vetorial de E = C⁰(ℝ). O conteúdo é teste de subespaço: precisamos mostrar que F não é vazio, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o elemento zero de E pertence a F. Definimos a função zero φ(x) = 0 para todo x. Como φ é contínua e satisfaz
limxto+inftyφ(x)=limxto+infty0=0,
então φ ∈ F, provando que F não é vazio.

Passo 3

Verificamos a fechamento de F sob soma. Sejam f e g em F, ou seja, funções contínuas com
limxto+inftyf(x)=0
e
limxto+inftyg(x)=0
Como soma de funções contínuas é contínua e
limxto+infty(f(x)+g(x))=limxto+inftyf(x)+limxto+inftyg(x)=0+0=0,
tenho f+g ∈ F.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja f ∈ F e α ∈ ℝ. A função αf é contínua e
limxto+infty(αf(x))=αlimxto+inftyf(x)=α·0=0, \nlogo αf ∈ F. Assim, F cumpre todos os requisitos de subespaço vetorial.

Resposta

Sim. F é um subespaço vetorial de E.

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