Verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto F = { f ∈ C⁰(ℝ) | limₓ→+∞ f(x) = 0 } é subespaço vetorial de E = C⁰(ℝ). O conteúdo é teste de subespaço: precisamos mostrar que F não é vazio, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que o elemento zero de E pertence a F. Definimos a função zero φ(x) = 0 para todo x. Como φ é contínua e satisfaz
então φ ∈ F, provando que F não é vazio.
Passo 3
Verificamos a fechamento de F sob soma. Sejam f e g em F, ou seja, funções contínuas com
e
Como soma de funções contínuas é contínua e
tenho f+g ∈ F.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja f ∈ F e α ∈ ℝ. A função αf é contínua e
Resposta
Sim. F é um subespaço vetorial de E.