Prove que uma álgebra A é sigma-álgebra, e somente se, A é uma classe monótona.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma álgebra de conjuntos A é uma sigma-álgebra exatamente quando ela é também uma classe monótona. O conteúdo principal envolve entender as definições de álgebra, sigma-álgebra e classe monótona, e usar argumentos de fechamento por uniões crescentes e interseções decrescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as definições: uma álgebra de conjuntos A sobre um universo X satisfaz: (i) XinA, (ii) se AinA então A^cinA, e (iii) se A,BinA então Acup BinA. Uma sigma-álgebra exige ainda fechamento sob uniões contáveis. Uma classe \emph{monótona} M é tal que: toda sequência (Mn) em M com Mnsubset Mn+1 tem cupn MninM e, análogo, para Mnsupset Mn+1 tem capn MninM.

Passo 3

Mostramos que se A é sigma-álgebra então ela é monótona. De fato, fecho sob uniões contáveis implica imediatamente que, para qualquer sequência crescente (An)subsetA, cupn=1^infty AninA E como A também é fechada por complementação, para qualquer sequência decrescente (Bn), basta olhar Bn= Cn^c com (Cn) crescente, obter cup CninA e usar complementação para concluir cap BninA.

Passo 4

Agora provamos a recíproca: se A é álgebra e classe monótona, então é sigma-álgebra. Seja (An)n=1^infty uma sequência qualquer em A. Definimos as uniões parciais Bn = A1cup A2cupcdotscup An Cada Bn está em A porque A é álgebra (fecho por uniões finitas) e (Bn) forma uma sequência crescente. Como A é classe monótona, temos cupn=1^infty Bn in A Mas está fechada sob uniões contáveis. Complementação e finitude já estavam garantidas por ser álgebra, assim concluímos que cupn=1^infty Bn = cupn=1^infty An,] logo (A é uma A-álgebra.

Passo 5

Juntando tudo, mostramos que qualquer sigma-álgebra é uma classe monótona e que qualquer álgebra que seja também classe monótona é uma sigma-álgebra. Portanto, chegamos à equivalência desejada.

Resposta

Uma álgebra A é sigma-álgebra se, e somente se, ela for uma classe monótona.

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