Prove que uma álgebra
é
-álgebra, e somente se,
é uma classe monótona.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma álgebra de conjuntos
é uma
-álgebra exatamente quando ela é também uma classe monótona. O conteúdo principal envolve entender as definições de álgebra,
-álgebra e classe monótona, e usar argumentos de fechamento por uniões crescentes e interseções decrescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as definições: uma álgebra de conjuntos
sobre um universo
satisfaz: (i)
, (ii) se
então
, e (iii) se
então
. Uma
-álgebra exige ainda fechamento sob uniões contáveis. Uma classe \emph{monótona}
é tal que: toda sequência
em
com
tem
e, análogo, para
tem
.
Passo 3
Mostramos que se
é
-álgebra então ela é monótona. De fato, fecho sob uniões contáveis implica imediatamente que, para qualquer sequência crescente
,
E como
também é fechada por complementação, para qualquer sequência decrescente
, basta olhar
com
crescente, obter
e usar complementação para concluir
.
Passo 4
Agora provamos a recíproca: se
é álgebra e classe monótona, então é
-álgebra. Seja
uma sequência qualquer em
. Definimos as uniões parciais
Cada
está em
porque
é álgebra (fecho por uniões finitas) e
forma uma sequência crescente. Como
é classe monótona, temos
Mas está fechada sob uniões contáveis. Complementação e finitude já estavam garantidas por ser álgebra, assim concluímos que
é uma
-álgebra.
Passo 5
Juntando tudo, mostramos que qualquer
-álgebra é uma classe monótona e que qualquer álgebra que seja também classe monótona é uma
-álgebra. Portanto, chegamos à equivalência desejada.
Resposta
Uma álgebra
é
-álgebra se, e somente se, ela for uma classe monótona.