Mostre que se
é álgebra, então
.
Passo 1
Estamos com
um álgebra de subconjuntos de um espaço
e queremos mostrar que a classe monótona gerada por
, isto é
, coincide com a sigma-álgebra gerada por
, ou seja
. Vamos usar definições de álgebra, classe monótona e sigma-álgebra, além do fato de que toda sigma-álgebra é uma classe monótona e que uma classe monótona que seja também álgebra é sigma-álgebra.
Passo 2
Como
é por definição uma sigma-álgebra contendo
, ela é em particular uma classe monótona que contém
. Pela menoridade de
como classe monótona gerada por
, segue-se que
Passo 3
Para mostrar que
é fechado em complementos, consideramos a classe
É fácil checar que
é uma classe monótona: união crescente e interseção decrescente de conjuntos que têm complemento em
também têm. Como
é álgebra, para todo
temos
, logo
. Da minimalidade de
segue
, ou seja,
é fechado em complementos.
Passo 4
Para fechar em uniões finitas, fixamos
e definimos
Mostra-se que
é uma classe monótona que contém
, pois para
temos
. Assim, novamente pela definição de
, vale
, o que garante que para quaisquer
temos
.
Passo 5
Agora sabemos que
é fechado em complementos e em uniões finitas, ou seja, é uma álgebra, além de já ser uma classe monótona.
Passo 6
Uma classe monótona que seja álgebra fecha-se em uniões e complementos contáveis, logo é sigma-álgebra. Portanto
é uma sigma-álgebra que contém
.
Passo 7
Como
é a menor sigma-álgebra contendo
, segue
Juntando essa inclusão com
, concluímos a igualdade.
Passo 8
Ao final, demonstramos que