Mostre que se A é álgebra, então Mlang<=Arang<== sigmalang<= Arang<=.

Passo 1

Estamos com A um álgebra de subconjuntos de um espaço X e queremos mostrar que a classe monótona gerada por A, isto é Mlang<=Arang<=, coincide com a sigma-álgebra gerada por A, ou seja sigmalang<=Arang<=. Vamos usar definições de álgebra, classe monótona e sigma-álgebra, além do fato de que toda sigma-álgebra é uma classe monótona e que uma classe monótona que seja também álgebra é sigma-álgebra.

Passo 2

Como sigmalang<=Arang<= é por definição uma sigma-álgebra contendo A, ela é em particular uma classe monótona que contém A. Pela menoridade de Mlang<=Arang<= como classe monótona gerada por A, segue-se que
Mlang<=Arang<=subseteqsigmalang<=Arang<=

Passo 3

Para mostrar que Mlang<=Arang<= é fechado em complementos, consideramos a classe
C=EinMlang<=Arang<=:E^cinMlang<=Arang<=
É fácil checar que C é uma classe monótona: união crescente e interseção decrescente de conjuntos que têm complemento em Mlang<=Arang<= também têm. Como A é álgebra, para todo AinA temos A^cinAsubseteqMlang<=Arang<=, logo Ain C. Da minimalidade de Mlang<=Arang<= segue Mlang<=Arang<=subseteq C, ou seja, Mlang<=Arang<= é fechado em complementos.

Passo 4

Para fechar em uniões finitas, fixamos BinMlang<=Arang<= e definimos
DB=EinMlang<=Arang<=:Ecup BinMlang<=Arang<=
Mostra-se que DB é uma classe monótona que contém A, pois para AinA temos Acup BinAsubseteqMlang<=Arang<=. Assim, novamente pela definição de Mlang<=Arang<=, vale Mlang<=Arang<=subseteq DB, o que garante que para quaisquer E,BinMlang<=Arang<= temos Ecup BinMlang<=Arang<=.

Passo 5

Agora sabemos que Mlang<=Arang<= é fechado em complementos e em uniões finitas, ou seja, é uma álgebra, além de já ser uma classe monótona.

Passo 6

Uma classe monótona que seja álgebra fecha-se em uniões e complementos contáveis, logo é sigma-álgebra. Portanto Mlang<=Arang<= é uma sigma-álgebra que contém A.

Passo 7

Como sigmalang<=Arang<= é a menor sigma-álgebra contendo A, segue
sigmalang<=Arang<=subseteqMlang<=Arang<=
Juntando essa inclusão com Mlang<=Arang<=subseteqsigmalang<=Arang<=, concluímos a igualdade.

Passo 8

Ao final, demonstramos que
Mlang<=Arang<==sigmalang<=Arang<=

Resposta

Mlang<=Arang<==sigmalang<=Arang<=.

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