Dado que x(t)=c1 cos omega t+c2 sen omega t é a solução geral de x^prime prime+omega^2 x=0 no intervalo (-infty, infty), mostre que uma solução que satisfaça as condições iniciais x(0)=x0 e x^prime(0)=x1 é dada por x(t)=x0 cos omega t+x1omega sen omega t.

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem do tipo $ x’’ + \omega^2 x = 0 $, cuja solução geral é $ x(t) = c_{1} \cos \omega t + c_{2} \sin \omega t $. A tarefa é encontrar uma solução específica que atenda às condições iniciais $ x(0) = x_{0} $ e $ x’(0) = x_{1} $. Para isso, vamos precisar usar o conceito de solução geral de equações diferenciais e aplicar as condições iniciais para determinar os constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ t = 0 $ na solução geral para aplicar a primeira condição inicial $ x(0) = x_{0} $. Sabemos que $ \cos 0 = 1 $ e $ \sin 0 = 0 $, então:
t = 0
Isso nos dá o valor de $ c_{1} $.

Passo 3

Agora, vamos derivar a solução geral para encontrar $ x’(t) $:
x'(t)
Vamos aplicar a segunda condição inicial $ x’(0) = x_{1} $. Substituindo $ t = 0 $:
x'(t) = -c1 omega sin omega t + c2 omega cos omega t
Isso nos permite resolver para $ c_{2} $:
x'(0) = x1

Passo 4

Com os valores de $ c_{1} $ e $ c_{2} $ determinados, podemos escrever a solução específica que satisfaz as condições iniciais:
c1

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais $ x(0) = x_{0} $ e $ x’(0) = x_{1} $ é:
x(0) = x0

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