Dado que
é a solução geral de
no intervalo
, mostre que uma solução que satisfaça as condições iniciais
e
é dada por
.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem do tipo $ x’’ + \omega^2 x = 0 $, cuja solução geral é $ x(t) = c_{1} \cos \omega t + c_{2} \sin \omega t $. A tarefa é encontrar uma solução específica que atenda às condições iniciais $ x(0) = x_{0} $ e $ x’(0) = x_{1} $. Para isso, vamos precisar usar o conceito de solução geral de equações diferenciais e aplicar as condições iniciais para determinar os constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ t = 0 $ na solução geral para aplicar a primeira condição inicial $ x(0) = x_{0} $. Sabemos que $ \cos 0 = 1 $ e $ \sin 0 = 0 $, então:
Isso nos dá o valor de $ c_{1} $.
Passo 3
Agora, vamos derivar a solução geral para encontrar $ x’(t) $:
Vamos aplicar a segunda condição inicial $ x’(0) = x_{1} $. Substituindo $ t = 0 $:
Isso nos permite resolver para $ c_{2} $:
Passo 4
Com os valores de $ c_{1} $ e $ c_{2} $ determinados, podemos escrever a solução específica que satisfaz as condições iniciais:
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais $ x(0) = x_{0} $ e $ x’(0) = x_{1} $ é: