Dados x, y, z \in \mathbb{R}, mostre que se x+y=x+z, então y=z.

Passo 1

O enunciado nos dá três números reais x,y,z e afirma que
x + y = x + z.
Queremos provar que, nessas condições, necessariamente
y = z.
Para isso, vamos usar os axiomas de corpo de \mathbb{R}, em especial o inverso aditivo e a associatividade da adição, que garantem a lei de cancelamento.

Passo 2

Como -x é o inverso aditivo de x, podemos somar -x a ambos os lados da igualdade inicial sem alterá-la. Assim,
(-x) + (x + y) = (-x) + (x + z).

Passo 3

Pela associatividade da adição, temos
((-x) + x) + y = ((-x) + x) + z.
Mas (-x) + x = 0, onde 0 é o elemento neutro da adição em \mathbb{R}. Logo,
0 + y = 0 + z.
Como 0 é elemento neutro, isso implica
y = z.

Resposta

y = z

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