Dado
e
de uma V.A.
com distribuição Binomial, Calcule:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Binomial. Sabemos que a esperança $ E(X) = 5 $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) = 3,75 $. Nosso objetivo é calcular várias probabilidades relacionadas a $ X $: $ P(X=5) $, $ P(X \geq 3) $, $ P(X=0) $ e $ P(X \leq 4) $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades da distribuição Binomial e da fórmula da probabilidade para eventos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição Binomial. Uma distribuição Binomial é caracterizada por dois parâmetros: $ n $ (número de tentativas) e $ p $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa). As fórmulas para a esperança e a variância são:
Sabendo que $ E(X) = 5 $ e $ \operatorname{Var}(X) = 3,75 $, vamos usar essas equações para encontrar $ n $ e $ p $.
Passo 3
Vamos usar as equações da esperança e da variância para encontrar $ n $ e $ p $.
- Esperança:
- Variância:
Substituindo $ p $ da primeira equação na segunda:
Agora que temos $ n = 20 $, podemos encontrar $ p $:
Então, os parâmetros são $ n = 20 $ e $ p = 0,25 $.
Passo 4
Agora que sabemos que $ X $ segue uma distribuição Binomial com $ n = 20 $ e $ p = 0,25 $, podemos calcular as probabilidades pedidas usando a fórmula da probabilidade Binomial:
Vamos resolver cada item:
a) $ P(X = 5) $
b) $ P(X \geq 3) $
Para calcular $ P(X \geq 3) $, é mais fácil usar o complemento:
Então, precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $ e subtrair a soma desses valores de 1.
c) $ P(X = 0) $
d) $ P(X \leq 4) $
Isso significa que vamos somar as probabilidades de $ X $ ser 0, 1, 2, 3 e 4.
Resposta
Após os cálculos, as probabilidades são:
a) $ P(X = 5) \approx 0,2023 $
b) $ P(X \geq 3) \approx 0,9999 $
c) $ P(X = 0) \approx 0,0032 $
d) $ P(X \leq 4) \approx 0,2969 $