Dado E(X)=5 e Var(X)=3,75 de uma V.A. X com distribuição Binomial, Calcule:
a) P(X=5)
b) P(X >= 3)
c) P(X=0)
d) P(X <= 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Binomial. Sabemos que a esperança $ E(X) = 5 $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) = 3,75 $. Nosso objetivo é calcular várias probabilidades relacionadas a $ X $: $ P(X=5) $, $ P(X \geq 3) $, $ P(X=0) $ e $ P(X \leq 4) $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades da distribuição Binomial e da fórmula da probabilidade para eventos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição Binomial. Uma distribuição Binomial é caracterizada por dois parâmetros: $ n $ (número de tentativas) e $ p $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa). As fórmulas para a esperança e a variância são:
n
p
Sabendo que $ E(X) = 5 $ e $ \operatorname{Var}(X) = 3,75 $, vamos usar essas equações para encontrar $ n $ e $ p $.

Passo 3

Vamos usar as equações da esperança e da variância para encontrar $ n $ e $ p $.
  1. Esperança:
n
  1. Variância:
p
Substituindo $ p $ da primeira equação na segunda:
n p = 5 Rightarrow p = 5n
n p (1 - p) = 3,75
p
n ( 5n ) (1 - 5n) = 3,75
Agora que temos $ n = 20 $, podemos encontrar $ p $:
5 (1 - 5n) = 3,75
Então, os parâmetros são $ n = 20 $ e $ p = 0,25 $.

Passo 4

Agora que sabemos que $ X $ segue uma distribuição Binomial com $ n = 20 $ e $ p = 0,25 $, podemos calcular as probabilidades pedidas usando a fórmula da probabilidade Binomial:
X
Vamos resolver cada item:
a) $ P(X = 5) $
n = 20
b) $ P(X \geq 3) $
Para calcular $ P(X \geq 3) $, é mais fácil usar o complemento:
p = 0,25
Então, precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $ e subtrair a soma desses valores de 1.
c) $ P(X = 0) $
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
d) $ P(X \leq 4) $
P(X = 5)
Isso significa que vamos somar as probabilidades de $ X $ ser 0, 1, 2, 3 e 4.

Resposta

Após os cálculos, as probabilidades são:
a) $ P(X = 5) \approx 0,2023 $
b) $ P(X \geq 3) \approx 0,9999 $
c) $ P(X = 0) \approx 0,0032 $
d) $ P(X \leq 4) \approx 0,2969 $

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