Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores dessa caixa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. O enunciado fala sobre inspecionar caixas que têm 50 motores, sendo que 6 deles são defeituosos. O objetivo é descobrir a chance de precisar examinar todos os 50 motores da caixa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando é necessário testar todos os 50 motores. Isso acontece se, ao testar 5 motores inicialmente, pelo menos um deles for defeituoso. Então, queremos a probabilidade de que pelo menos um dos 5 motores testados seja defeituoso.
Passo 3
Para facilitar, é mais simples calcular a probabilidade do contrário: a chance de nenhum dos 5 motores testados ser defeituoso, e depois subtrair esse valor de 1. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(nenhum defeituoso) $. Temos 50 motores no total, sendo 6 defeituosos. Então, temos 44 motores não defeituosos.
A probabilidade de todos os 5 motores testados serem não defeituosos é a combinação de escolher 5 motores bons entre os 44 disponíveis, dividido pela combinação de escolher 5 motores dentre os 50 totais:
Aqui, $ \dbinom{n}{k} $ representa a combinação de n itens tomados k a k.
Passo 5
Vamos substituir os valores:
Então,
Passo 6
Agora, voltamos à nossa fórmula inicial:
Resposta
A probabilidade de que seja necessário examinar todos os 50 motores da caixa é de aproximadamente 48,7%.