Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores dessa caixa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. O enunciado fala sobre inspecionar caixas que têm 50 motores, sendo que 6 deles são defeituosos. O objetivo é descobrir a chance de precisar examinar todos os 50 motores da caixa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando é necessário testar todos os 50 motores. Isso acontece se, ao testar 5 motores inicialmente, pelo menos um deles for defeituoso. Então, queremos a probabilidade de que pelo menos um dos 5 motores testados seja defeituoso.

Passo 3

Para facilitar, é mais simples calcular a probabilidade do contrário: a chance de nenhum dos 5 motores testados ser defeituoso, e depois subtrair esse valor de 1. Ou seja:
P(pelo menos um defeituoso) = 1 - P(nenhum defeituoso)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(nenhum defeituoso) $. Temos 50 motores no total, sendo 6 defeituosos. Então, temos 44 motores não defeituosos.
A probabilidade de todos os 5 motores testados serem não defeituosos é a combinação de escolher 5 motores bons entre os 44 disponíveis, dividido pela combinação de escolher 5 motores dentre os 50 totais:
P(nenhum defeituoso)
Aqui, $ \dbinom{n}{k} $ representa a combinação de n itens tomados k a k.

Passo 5

Vamos substituir os valores:
dbinom445 = 44!5!(44-5)! = 1.086.008
dbinom505 = 50!5!(50-5)! = 2.118.760
Então,
P(nenhum defeituoso) = 1.086.0082.118.760 approx 0,513

Passo 6

Agora, voltamos à nossa fórmula inicial:
P(pelo menos um defeituoso) = 1 - 0,513 = 0,487

Resposta

A probabilidade de que seja necessário examinar todos os 50 motores da caixa é de aproximadamente 48,7%.

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