No pedágio da rodovia dos Imigrantes passam, em média, 3600 carros por hora em vésperas de feriado. Qual a probabilidade de:
a) Passarem dois carros em um segundo?
b) Passarem 30 carros em 15 segundos?
c) Passarem até 5 carros em 10 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a quantidade de carros que passam no pedágio da rodovia dos Imigrantes. Em média, passam 3600 carros por hora, especialmente em vésperas de feriado. A gente vai calcular algumas probabilidades usando esse dado. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a distribuição de Poisson, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos acontecem de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a parte a): Qual a probabilidade de passarem dois carros em um segundo?
Como a média é de 3600 carros por hora, precisamos converter isso para carros por segundo. Sabemos que uma hora tem 3600 segundos, então:
lambda = 3600 carros3600 segundos = 1 carro por segundo
Agora, usamos a fórmula da distribuição de Poisson:
P(k; lambda) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • $ k = 2 $ (número de carros que queremos)
  • $ \lambda = 1 $
Substituindo os valores:
k = 2
Então, a probabilidade é de aproximadamente 18,39%.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Qual a probabilidade de passarem 30 carros em 15 segundos?
Primeiro, calculamos a taxa média para 15 segundos. Se temos 1 carro por segundo, em 15 segundos esperamos, em média, 15 carros. Logo, $ \lambda = 15 $.
Usando a mesma fórmula da Poisson:
lambda = 15
Esse cálculo é bem pesado para fazer manualmente, então geralmente usamos calculadoras ou softwares para obter esse valor. Mas, de qualquer forma, o resultado será uma probabilidade muito baixa, já que 30 carros em 15 segundos é o dobro da média esperada.

Passo 4

Por fim, vamos para a parte c): Qual a probabilidade de passarem até 5 carros em 10 segundos?
Primeiro, calculamos a taxa média para 10 segundos. Com 1 carro por segundo, em 10 segundos, $ \lambda = 10 $.
Queremos a probabilidade de passarem até 5 carros, ou seja, 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 carros. Usamos a soma das probabilidades individuais:
lambda = 10
Isso também é mais fácil de calcular usando uma tabela de Poisson ou uma calculadora.

Resposta

a) A probabilidade de passarem dois carros em um segundo é de aproximadamente 18,39%.
b) A probabilidade de passarem 30 carros em 15 segundos é muito baixa e pode ser calculada usando a fórmula de Poisson com $ \lambda = 15 $.
c) A probabilidade de passarem até 5 carros em 10 segundos pode ser encontrada somando as probabilidades de 0 a 5 carros usando a distribuição de Poisson com $ \lambda = 10 $.

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