Foi instituído um programa de crédito subsidiado para a aquisição da casa própria destinado a famílias de baixa renda de uma certa região. Ocorre que nem todos os beneficiários desse tipo de financiamento de fato pagam o que devem. Por isso, foi decidido que o programa seria imediatamente interrompido a partir do momento em que se constatasse que 10 dos beneficiários não estavam honrando seus compromissos. Se p=0,2 é a proporção de maus pagadores na população considerada, calcule a probabilidade de que o programa chegará a conceder exatamente 50 desses financiamentos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um programa de crédito para famílias de baixa renda, mas às vezes alguns beneficiários não pagam o que devem. A regra é que, se 10 pessoas não pagarem, o programa para. Sabendo que 20% ( p = 0,2) das pessoas são maus pagadores, queremos descobrir a probabilidade de o programa conceder exatamente 50 financiamentos antes de ser interrompido. Para resolver isso, vamos usar a teoria das Probabilidades Binomiais Negativas, que nos ajuda a calcular a chance de ocorrer um certo número de sucessos antes de um número fixo de falhas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa “conceder exatamente 50 financiamentos”. Isso quer dizer que a 50ª concessão é o momento em que alcançamos o 10º mau pagador, que vai fazer o programa parar. Portanto, nas primeiras 49 concessões, tivemos 9 maus pagadores e 40 bons pagadores.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição Binomial Negativa, que calcula a probabilidade de obtermos um certo número de sucessos antes de alcançar um número específico de falhas. A fórmula é:
P(X = k) = binomk-1r-1 cdot p^r cdot (1-p)^k-r
Onde:
  • $ k = 50 $ é o número total de concessões.
  • $ r = 10 $ é o número de maus pagadores que queremos.
  • $ p = 0,2 $ é a probabilidade de uma concessão ser para um mau pagador.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial binom499, que representa as diferentes maneiras de distribuir os 9 maus pagadores nas primeiras 49 concessões.
binom499 = 49!9!(49-9)! = 49!9! cdot 40!
Esse valor é igual a 92.378.945 maneiras diferentes.

Passo 5

Agora, calculamos $ p^{10} $ e $ (1-p)^{40} $:
p^10
(1-p)^40

Passo 6

Multiplicamos todos os valores:
P(X = 50) = 92.378.945 times 0,0000001024 times 0,00012093235 approx 0,00114

Resposta

A probabilidade de o programa conceder exatamente 50 financiamentos antes de ser interrompido é de aproximadamente 0,114%.

Exercícios relacionados