Foi instituído um programa de crédito subsidiado para a aquisição da casa própria destinado a famílias de baixa renda de uma certa região. Ocorre que nem todos os beneficiários desse tipo de financiamento de fato pagam o que devem. Por isso, foi decidido que o programa seria imediatamente interrompido a partir do momento em que se constatasse que 10 dos beneficiários não estavam honrando seus compromissos. Se
é a proporção de maus pagadores na população considerada, calcule a probabilidade de que o programa chegará a conceder exatamente 50 desses financiamentos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um programa de crédito para famílias de baixa renda, mas às vezes alguns beneficiários não pagam o que devem. A regra é que, se 10 pessoas não pagarem, o programa para. Sabendo que 20% (
) das pessoas são maus pagadores, queremos descobrir a probabilidade de o programa conceder exatamente 50 financiamentos antes de ser interrompido. Para resolver isso, vamos usar a teoria das Probabilidades Binomiais Negativas, que nos ajuda a calcular a chance de ocorrer um certo número de sucessos antes de um número fixo de falhas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa “conceder exatamente 50 financiamentos”. Isso quer dizer que a 50ª concessão é o momento em que alcançamos o 10º mau pagador, que vai fazer o programa parar. Portanto, nas primeiras 49 concessões, tivemos 9 maus pagadores e 40 bons pagadores.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição Binomial Negativa, que calcula a probabilidade de obtermos um certo número de sucessos antes de alcançar um número específico de falhas. A fórmula é:
Onde:
- $ k = 50 $ é o número total de concessões.
- $ r = 10 $ é o número de maus pagadores que queremos.
- $ p = 0,2 $ é a probabilidade de uma concessão ser para um mau pagador.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente binomial
, que representa as diferentes maneiras de distribuir os 9 maus pagadores nas primeiras 49 concessões.
Esse valor é igual a 92.378.945 maneiras diferentes.
Passo 5
Agora, calculamos $ p^{10} $ e $ (1-p)^{40} $:
Passo 6
Multiplicamos todos os valores:
Resposta
A probabilidade de o programa conceder exatamente 50 financiamentos antes de ser interrompido é de aproximadamente 0,114%.