Sabe-se que 20% das peças de um estoque são defeituosas. Um experimento consiste em retirar peças, uma de cada vez, com reposição, até que se obtenha uma peça defeituosa.
a) Qual a probabilidade de que a peça defeituosa seja retirada na 3^a tentativas?
b) Qual a probabilidade de serem necessárias mais de 3 tentativas para se retirar uma peça defeituosa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre peças com defeito em um estoque, onde 20% delas são defeituosas. A gente está fazendo um experimento retirando peças uma a uma, sempre colocando de volta (isso é o que chamamos de “com reposição”), até achar uma defeituosa. Vamos precisar entender de probabilidade, especialmente de sucessos e fracassos em tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades:
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa (sucesso): $ p = 0,20 $
  • Probabilidade de uma peça ser não defeituosa (fracasso): $ q = 1 - p = 0,80 $

Passo 3

Para a parte (a), queremos saber a probabilidade de encontrar a primeira peça defeituosa na 3ª tentativa. Isso significa que nas duas primeiras retiradas, as peças não são defeituosas, e na terceira, é defeituosa.

Passo 4

A probabilidade disso acontecer é o produto das probabilidades:
P(primeira defeituosa na 3ª tentativa) = q times q times p = q^2 times p ª

Passo 5

Substituindo os valores:
P = (0,80)^2 times 0,20 = 0,64 times 0,20 = 0,128

Passo 6

Então, a probabilidade de encontrar a primeira peça defeituosa na terceira tentativa é de 12,8%.

Passo 7

Agora, para a parte (b), queremos saber a probabilidade de serem necessárias mais de 3 tentativas para achar uma peça defeituosa. Isso significa que nas três primeiras retiradas, todas as peças são não defeituosas.

Passo 8

A probabilidade disso acontecer é:
P(mais de 3 tentativas) = q times q times q = q^3

Passo 9

Substituindo os valores:
P = (0,80)^3 = 0,512

Passo 10

Portanto, a probabilidade de precisar de mais de três tentativas para encontrar uma peça defeituosa é de 51,2%.

Resposta

b) A probabilidade é de 51,2%.

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