Mostre que se X, Y são variáveis aleatórias em (Omega, F, P) então também são variáveis aleatórias:
max (X, Y)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y no espaço de probabilidade (Ω,F,P) e pede para mostrar que Z(ω)=max (X(ω),Y(ω)) também é uma variável aleatória. Vamos usar a definição de variável aleatória em termos de pré-imagens de intervalos do tipo (–∞,t].

Passo 2

Para provar que Z é mensurável (ou seja, variável aleatória), basta ver que para todo t∈ℝ temos:
omega:Z(omega)<= t=omega:max(X(omega),Y(omega))<= t=omega:X(omega)<= t e Y(omega)<= t

Passo 3

Como X e Y são variáveis aleatórias, as pré-imagens X<= t e Y<= t pertencem a F. Logo a interseção dessas duas pré-imagens também está em F. Portanto Z<= tin F para todo t.

Passo 4

Isso mostra que Z= max(X,Y) é mensurável, ou seja, é uma variável aleatória.

Resposta

Portanto, max(X,Y) é uma variável aleatória.

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