Mostre que se
são variáveis aleatórias em
então também são variáveis aleatórias:
Passo 1
O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y no espaço de probabilidade (Ω,F,P) e pede para mostrar que Z(ω)=max (X(ω),Y(ω)) também é uma variável aleatória. Vamos usar a definição de variável aleatória em termos de pré-imagens de intervalos do tipo (–∞,t].
Passo 2
Para provar que Z é mensurável (ou seja, variável aleatória), basta ver que para todo t∈ℝ temos:
Passo 3
Como X e Y são variáveis aleatórias, as pré-imagens
e
pertencem a F. Logo a interseção dessas duas pré-imagens também está em F. Portanto
para todo t.
Passo 4
Isso mostra que Z= max(X,Y) é mensurável, ou seja, é uma variável aleatória.
Resposta
Portanto,
é uma variável aleatória.