Dado y=f(x)=x^2-9 x+20x-4 :
Essa função é continua em x=4? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função racional f(x)=x^2-9x+20x-4 é contínua em x=4. O conteúdo é continuidade de funções e vamos precisar da definição de continuidade num ponto (limite existe e coincide com o valor da função) e da fatoração de polinômios.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador para ver o comportamento perto de x=4. Note que
x^2-9x+20=(x-5)(x-4)
Logo, para xneq4 podemos cancelar o fator x-4:
f(x)=(x-5)(x-4)x-4=x-5, xneq4

Passo 3

Como f(x)=x-5 perto de 4 (exceto no ponto), calculamos o limite:
limxto4f(x)=limxto4(x-5)=4-5=-1

Passo 4

Agora verificamos se f(4) está definido. Se substituirmos x=4 na definição original, obtemos divisão por zero, então f(4) não existe. Para ser contínua em x=4 precisaríamos de limxto4f(x)=f(4), mas o limite existe e vale -1 enquanto f(4) é indefinido. Portanto há uma descontinuidade removível em x=4.

Resposta

Não. A função não é contínua em x=4 porque embora o limite limxto4f(x)=-1 exista, o valor f(4) não está definido (divisão por zero).

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