Qual o tipo de cônica que possui foco no polo e excentricidade e=2 / 3 e diretriz y =-5 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual tipo de cônica tem o foco no polo (a origem dos eixos) com uma excentricidade e = 23 e uma diretriz em y = -52 . A matéria aqui envolve as cônicas e como elas são definidas pela relação entre o foco, a excentricidade e a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma cônica. As cônicas são curvas que resultam da interseção de um plano com um cone e podem ser classificadas como elipse, parábola ou hipérbole. A definição que vamos usar aqui é baseada na relação entre a distância de um ponto na cônica ao foco e a distância desse ponto à diretriz.
Essa relação é dada por:
Distância ao foco = e times Distância à diretriz ââà
onde e é a excentricidade da cônica.

Passo 3

Como o foco está no polo (origem), vamos considerar um ponto qualquer (x, y) na cônica. A distância desse ponto ao foco (origem) é:
raizx^2 + y^2
A diretriz está em y = -52 . A distância de um ponto (x, y) a essa diretriz é a distância vertical, que é:
|y + 52|
Aplicando a definição da cônica:
raizx^2 + y^2 = 23 times |y + 52|

Passo 4

Vamos simplificar a equação para identificar o tipo de cônica. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 + y^2 = ( 23 )^2 (y + 52)^2
x^2 + y^2 = 49 (y^2 + 5y + 254)
x^2 + y^2 = 49y^2 + 209y + 259
Agora, vamos multiplicar todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:
9x^2 + 9y^2 = 4y^2 + 20y + 25
9x^2 + 5y^2 - 20y - 25 = 0
A presença dos termos x^2 e y^2 com sinais positivos indica que estamos lidando com uma elipse, já que a excentricidade e = 23 < 1 .

Resposta

A cônica é uma elipse.

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