Qual o tipo de cônica que possui foco no polo e excentricidade
e diretriz
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual tipo de cônica tem o foco no polo (a origem dos eixos) com uma excentricidade
e uma diretriz em
. A matéria aqui envolve as cônicas e como elas são definidas pela relação entre o foco, a excentricidade e a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma cônica. As cônicas são curvas que resultam da interseção de um plano com um cone e podem ser classificadas como elipse, parábola ou hipérbole. A definição que vamos usar aqui é baseada na relação entre a distância de um ponto na cônica ao foco e a distância desse ponto à diretriz.
Essa relação é dada por:
onde
é a excentricidade da cônica.
Passo 3
Como o foco está no polo (origem), vamos considerar um ponto qualquer
na cônica. A distância desse ponto ao foco (origem) é:
A diretriz está em
. A distância de um ponto
a essa diretriz é a distância vertical, que é:
Aplicando a definição da cônica:
Passo 4
Vamos simplificar a equação para identificar o tipo de cônica. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, vamos multiplicar todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:
A presença dos termos
e
com sinais positivos indica que estamos lidando com uma elipse, já que a excentricidade
.
Resposta
A cônica é uma elipse.