Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
e depois calcular o valor numérico. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas e uso de substituição para resolver a integral resultante.
Passo 2
Descrivemos a região
no plano
dada por
Para inverter a ordem notamos que, varrendo
de
a
, a menor reta é
(em
dá
) e a maior é
. Assim
varia de
até
, e para cada
fixo, a condição
vira
. Como
, obtemos
Passo 3
Reescrevendo a integral com a ordem trocada:
Passo 4
Na integral interna em
o integrando
é constante, logo
Passo 5
Restou calcular
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim