Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
integral0^1 integral2 x^2 e^y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral0^1integral2x^2 e^y^2 ,dy,dx
e depois calcular o valor numérico. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas e uso de substituição para resolver a integral resultante.

Passo 2

Descrivemos a região D no plano (x,y) dada por
0 <= x <= 1, 2x <= y <= 2
Para inverter a ordem notamos que, varrendo x de 0 a 1, a menor reta é y=2x (em x=0 y=0) e a maior é y=2. Assim y varia de 0 até 2, e para cada y fixo, a condição 2x<= y vira x<= y/2. Como x>=0, obtemos
0 <= y <= 2, 0 <= x <= y2

Passo 3

Reescrevendo a integral com a ordem trocada:
integral0^1integral2x^2 e^y^2 ,dy,dx = integral0^2integral0^y/2 e^y^2 ,dx,dy

Passo 4

Na integral interna em x o integrando e^y^2 é constante, logo
integral0^y/2 e^y^2 ,dx = e^y^2integral0^y/2dx = y2,e^y^2

Passo 5

Restou calcular
integral0^2 y2,e^y^2,dy = 12integral0^2 y,e^y^2,dy
Fazendo a substituição u=y^2, temos du=2y,dy ou y,dy=du/2. Quando y=0, u=0; quando y=2, u=4. Assim
12integral0^2 y,e^y^2,dy = 12integral0^4 e^u,du2 = 14integral0^4 e^u,du = 14l[e^ur]0^4 = e^4-14

Resposta

e^4-14

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